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Décompositon en fractions simples



  1. #1
    Bleyblue

    Décompositon en fractions simples


    ------

    Bonjour,

    J'ai un petit soucis avec une primitive (j'ai d'ailleurs intérêt à revoir la décomposition en fraction simple je ne maitrise pas suffisamlent bien ...) :



    On a donc : mais lorsque je décompose la fraction rationnelle en deux fractions simples j'aurais donc au numérateur du premier une expression du 5 ième ordre et de l'autre un expression du second ordre non ?

    Ca va me faire beaucoup de constantes à déterminer ...

    merci

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Décompositon en fractions simples

    Salut,

    commence par poser y=x² et décompose ainsi:



    C'est le théorème sur la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples qui donne la forme ci-dessus.

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 30/05/2005 à 16h56.

  4. #3
    Romain-des-Bois

    Re : Décompositon en fractions simples

    Je ne vois pas où est la difficulté dans ton problème ...

    mais peut-être me trompai-je ?

    ta fonction, c'est 1/u(x) avec u(x)=x^6+x^8

    chacun sait que la primitive de u'/u c'est ln ( valeur absolue de u)

    Seulement on n'a pas u'/u, tant pis,

    ramenons nous y :

    (x^6+x^8)' =6x^5 + 8x^7

    on choisit donc : (6x^5 + 8x^7)/(x^6+x^8)

    et la primitive de ça c'est : ln (val abs de x^6+x^8)

    alors... revenons au problème initial ...

    1/u(x) avec u(x)=x^6+x^8 devient :
    (6x^5 + 8x^7)/[(x^6+x^8).(6x^5 + 8x^7)]

    et ...

    mince ...

    Pourtant je suis sûr qu'on peut y arriver comme ça ...

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Décompositon en fractions simples

    Citation Envoyé par martini_bird
    C'est le théorème sur la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples qui donne la forme ci-dessus.
    Ah. Je ne vois pas du tout comment on arrive à ce résultat , je vais devoir le revoir ce fameux théorème alors ...

    Citation Envoyé par Romain29
    Pourtant je suis sûr qu'on peut y arriver comme ça ...
    Tu es sûr ?

  6. #5
    g_h

    Re : Décompositon en fractions simples

    Romain29> je ne crois pas que l'on puisse y arriver de cette manière !
    [grillé]

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    martini_bird

    Re : Décompositon en fractions simples

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Ah. Je ne vois pas du tout comment on arrive à ce résultat , je vais devoir le revoir ce fameux théorème alors ...
    Regarde ici par exemple.

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  10. #7
    BioBen

    Re : Décompositon en fractions simples

    mince ...
    En fait ca on le voit aps encore en temrinale et pourtant c'est pas super compliqué et c'est vachment pratique.
    En fait ca permet de décomposer un truc genre :
    en Donc au final si c'était une intégration qu'on te demandait bah ta 3 intégrations faciles au lieu d'une un peu plus chiante.
    C'est faisable quand le degré du numérateur est inferieur au degré du dénominateur.
    a, b et c tu les retrouves facielment en multipliant par x, (x+1) puis (x+2) et en mettant les racines.
    Dernière modification par BioBen ; 30/05/2005 à 18h30.

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Décompositon en fractions simples

    Citation Envoyé par Bioben
    En fait ca on le voit aps encore en temrinale et pourtant c'est pas super compliqué et c'est vachment pratique.
    Ton exemple je le comprend bien Bioben, j'étais déja capable de le comprendre l'année passée (en terminale). Par contre la réponse de martini_bird je ne comprend pas, sais pas comment ça se fait ...

    Citation Envoyé par martini_bird
    Regarde ici par exemple.
    merci

  12. #9
    BioBen

    Re : Décompositon en fractions simples

    Ton exemple je le comprend bien Bioben, j'étais déja capable de le comprendre l'année passée (en terminale)
    Ah bon moi je l'avais pas vu en terminale ... (enfin je répondais à Romain qui vit en France, les programmes sont peut-être pas les mêmes)

    Bah l'exemple de Martini_bird est assez explicite je crois sauf que au lieu de y^3 tu mets x^6 et dans la parenthèse tu mets (1+x^2)...non ?

  13. #10
    Gwyddon

    Re : Décompositon en fractions simples

    Et pour être complet : lorsque le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, on fait une petite division euclidienne, on obtient un polynôme (facile à intégrer) plus une autre fraction où là le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur, donc on utilise la décomposition en élément simples.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    martini_bird

    Re : Décompositon en fractions simples

    La difficulté dans son exemple vient je pense du fait que les racines du dénominateurs ne sont pas toutes simples: si est racine d'ordre n, il faut inclure les termes



    dans la décomposition (avec ).

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Décompositon en fractions simples

    Citation Envoyé par martini_bird
    Regarde ici par exemple.
    Je connais déja tout ça mais apprament je n'arrive pas à appliquer

    Citation Envoyé par martini_bird
    commence par poser y=x² et décompose
    Comment se fait il qu'on puisse faire ça ? Normalement on aura dx = non ?

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  17. #13
    martini_bird

    Re : Décompositon en fractions simples

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Comment se fait il qu'on puisse faire ça ? Normalement on aura dx = non ?
    La décomposition en éléments simples ne fait appel à aucun moment à des techniques de calcul différentiel. C'est juste un changement de variable pour éviter d'écrire des termes dont les coefficients seront nuls (puisque la fonction de déart est paire).

  18. #14
    Bleyblue

    Re : Décompositon en fractions simples

    Oula j'ai confondut avec l'intégrale, attend je vais essayer de refaire sur papier et voir si je comprend

  19. #15
    Gwyddon

    Re : Décompositon en fractions simples

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    commence par poser y=x² et décompose ainsi:



    C'est le théorème sur la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples qui donne la forme ci-dessus.

    Cordialement.
    Plutôt

    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  20. #16
    martini_bird

    Re : Décompositon en fractions simples

    Of course!

  21. #17
    Bleyblue

    Re : Décompositon en fractions simples

    Ah oui et donc si t = x² on a :



    Mais alors pour déterminer a,b,c,d on a :

    non ?

    merci

  22. #18
    Bleyblue

    Re : Décompositon en fractions simples

    Petite erreur dans mon post précédent je voulais dire :

    at²(1 + t) + bt(1 + t) + c(1 +t) + dt³ = 1

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  24. #19
    Bleyblue

    Re : Décompositon en fractions simples

    Oui c'est bon, j'ai déterminer les constantes et je trouve donc pour la primitive :



    et j'ai vérifier avec ma TI 84 c'est bien juste.
    Bon, il ne me reste plus qu'a m'entraîner maintenant

    merci à tous !

  25. #20
    Romain-des-Bois

    Re : Décompositon en fractions simples

    Citation Envoyé par g_h
    Romain29> je ne crois pas que l'on puisse y arriver de cette manière !
    [grillé]
    Oui, mais j'ai au moins le mérite d'avoir essayé ... que n'ont pas ceux qui se contentent de fustiger les auteurs des mauvaises réponses

  26. #21
    Romain-des-Bois

    Re : Décompositon en fractions simples

    Citation Envoyé par BioBen
    Ah bon moi je l'avais pas vu en terminale ... (enfin je répondais à Romain qui vit en France, les programmes sont peut-être pas les mêmes)
    Ben si je l'ai vu en terminale, mais j'ai pas réussi à l'appliquer ici ..

  27. #22
    BioBen

    Re : Décompositon en fractions simples

    Ben si je l'ai vu en terminale
    Ah bon moi je l'avais pas vu ...On m'aurait menti ?

    mais j'ai pas réussi à l'appliquer ici
    Oui enfin dans ton message c'est pas vraiment (voire pas du tout) de la décomposition en éléments simples. Ta juste voulu mettre un gros ln

  28. #23
    Gwyddon

    Re : Décompositon en fractions simples

    Je ne l'avais, moi non plus, pas abordé en TS (mais bon, avec tous les changements de programmes )
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  29. #24
    g_h

    Re : Décompositon en fractions simples

    Citation Envoyé par Romain29
    Ben si je l'ai vu en terminale, mais j'ai pas réussi à l'appliquer ici ..
    En tous cas, elle n'est pas au programme cette année (je suis en TS aussi)
    Ou alors on a pas eu le temps de finir le programme !

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  31. #25
    Romain-des-Bois

    Re : Décompositon en fractions simples

    C'est possible que ce soit pas au programme, mais mon prof nous a fait faire des exos dessus. il n'hésite pas à nous booster un peu, à en faire plus que la moyenne. Et c'est tant mieux !

    Pour exemple : il nous fait depuis le début de l'année une heure de cours de plus par semaine (pour laquelle il n'est pas payé), depuis quelques semaines, une heure en plus de celle qu'on avait déjà en plus, et maintenant il vient tous les jours pour une dizaine d'élèves nous faire faire des heures de maths, même le mercredi après midi (alors que le lycée est fermé !).

  32. #26
    martini_bird

    Re : Décompositon en fractions simples

    La décomposition des fractions rationnelles en éléments simples n'est pas au programme de TS.

    Par contre, comme c'est un outil incontournable (surtout pour l'intégration), de nombreux exemples sont vus (pour lesquels la forme finale est donnée dans les cas compliqués).

    Un élève de TS doit être (au moins) capable de trouver une primitive de x/(x+1)...

    Cordialement.

  33. #27
    g_h

    Re : Décompositon en fractions simples

    T'as bien de la chance Romain

    martini_bird> oui, "au moins", parce qu'il y a bien d'autres formes à savoir reconnaitre quand même

  34. #28
    Bleyblue

    Re : Décompositon en fractions simples

    Nous en tout cas (en Belgique) pour la fin de terminale on devait au moins savoir résoudre (en option math 7h/semaine ) :





    p(x) et q(x) étant des polynômes (mais bon, le professeur se limitait aux cas simples, plus simple que celle que je viens de demander dans ce topic ...)

    (k rationnel)

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