famille génératrice

[invite613a4e44]

Si tous les éléments d'un ensemble sont inclus dans Vect X, peut-on en déduire que X est une famille génératrice de cet ensemble? Ou bien nous faut-il une égalité?
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[GuYem]

La réponse à la première question est oui.

[invited5b2473a]

pas définition même de vect X, oui

[invitec314d025]

Mouais, je ne suis pas convaincu. Pour moi on ne parle de famille X génératrice d'un ensemble E que quand on a l'égalité E = Vect(X).
On pourrait le définir autrement mais je ne vois pas l'intérêt, il me semble que ça rendrait plutôt les choses moins claires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

Si tous les éléments d'un ensemble sont inclus dans Vect X, peut-on en déduire que X est une famille génératrice de cet ensemble? Ou bien nous faut-il une égalité?

Je dirais volontiers oui si ton ensemble avait une structure d'espace vectoriel...

Pour moi, dire que (1,X,X²,....) est une famille génératrice de l'ensemble vide parce que tous les éléments de cet ensemble sont bien dans R[X], ça me gêne...

Croisement avec Matthias

[invited5b2473a]

1,x,x^2,... engendre le vide: on veut montrer que pour tout y de l'ensemble, il existe une combinaison linéaire des x^k égale à y.
pour tout y,ce qui suit est vrai.
cqfd

[invitec314d025]

Je dirais volontiers oui si ton ensemble avait une structure d'espace vectoriel...

Même si l'ensemble avait une structure d'ev, je trouverais ça génant si c'était un sous-espace strict de Vect(X). Il faudrait ajouter X inclue dans l'ensemble en question.

[invitec314d025]

cqfd

Il n'y a pas de cqfd qui tienne, c'est juste une question de définition.

[doryphore]

1,x,x^2,... engendre le vide: on veut montrer que pour tout y de l'ensemble, il existe une combinaison linéaire des x^k égale à y.
pour tout y,ce qui suit est vrai.
cqfd

J'ai bien compris qu'avec la définition que vous souhaitez donner aux familles génératrices on arrivait logiquement à ce résultat et c'est exactement ce qui me gêne....

[doryphore]

Même si l'ensemble avait une structure d'ev, je trouverais ça génant si c'était un sous-espace strict de Vect(X). Il faudrait ajouter X inclue dans l'ensemble en question.

Je suis d'accord...

[invited5b2473a]

non. prend E=R[X] et F=vect(1,x)
F est inclus strictement dans E et (1,x,x^2,...) est une famille génératrice de F.

[doryphore]

Je veux bien mais avec ton raisonnement tu vas finir par démontrer que (1,X,X²,...) est une base de Vect(1,X), ce que je souhaite t'éviter...

[invitec314d025]

non. prend E=R[X] et F=vect(1,x)
F est inclus strictement dans E et (1,x,x^2,...) est une famille génératrice de F.

Dialogue de sourds
On utilise juste une définition différente de la notion de famille génératrice, il n'y a aucune preuve ou contre-exemple à donner.
Je ne vois vraiment pas l'intérêt d'aller prendre des familles génératrices qui "sortent" de l'espace considéré.

[invitec314d025]

Je veux bien mais avec ton raisonnement tu vas finir par démontrer que (1,X,X²,...) est une base de Vect(1,X), ce que je souhaite t'éviter...

On est en phase

[invited5b2473a]

effectivement; tout dépend de la définition que vous donnez pour famille génératrice

[invitec314d025]

Bon tout de même, pour ne pas trop troubler Chokaolic par ces vaines controverses, tout cela n'est pas très important, cela montre juste qu'il faut avoir à l'esprit exactement de quoi on parle (quelle que soit la définition utilisée) pour éviter les écueils que mentionne Doryphore. Je n'ai personnellement jamais vu utilisé la définition telle que la présentent GuYem et Indian, mais ça ne changerait rien de fondamental.

[doryphore]

Sauf que par définition une base d'un espace vectoriel est une famille libre et génératrice.
Si on peut rajouter librement autant de vecteurs que l'on veut dans la famille génératrice, on peut en rajouter autant qu'on veut dans la base et alors la définition de dimension d'un espace vectoriel n'existe plus, il me semble...

[invite4793db90]

Salut,

Si on peut rajouter librement autant de vecteurs que l'on veut dans la famille génératrice,

Elle ne serait plus libre...

[invitec314d025]

Elle ne serait plus libre...

Avec l'exemple d'indian58 et sa définition elle serait libre, puisque l'on peut sortir de l'espace.

Pour Doryphore: je suis d'accord ça me gène aussi, mais on pourrait dans ce cas dire qu'une base est une famille libre et génératrice inclue dans l'espace vectoriel. Ca devient inutilement compliqué à mon sens mais pourquoi pas.

[doryphore]

Oui, la défintion d'une partie libre d'un espace vectoriel va dans ton sens...

Pour répondre à Matthias, une famile libre d'un espace vectoriel est implicitement composé d'éléments de cet espace vectoriel.
Donc, la notion de famille libre est relative à un e.v, ce qui nous évite ces problèmes...

[invitec314d025]

Pour répondre à Matthias, une famile libre d'un espace vectoriel est implicitement composé d'éléments de cet espace vectoriel.
Donc, la notion de famille libre est relative à un e.v, ce qui nous évite ces problèmes...

C'est pas faux.
Ou alors il faudrait l'inclure dans un espace vectoriel plus grand ...
Bon, j'ai beau jouer l'avocat du diable, je crois que tu as donné des arguments suffisament convaincants pour justifier la pertinence de la définition officielle

[doryphore]

Il me semble que cette notion de "famille génératrice" se retrouve dans d'autre structures que les espaces vectoriels (dans les groupes par exemple (générateurs)), le seul intérêt de cette notion c'est de la lier au dites structures à l'aide des opérations autorisées, ainsi la première définition donnée dans ce topic me semblait assez peu intéressante au regard de ce à quoi cette notion est censée servir...

[invitec314d025]

Il me semble que cette notion de "famille génératrice" se retrouve dans d'autre structures que les espaces vectoriels (dans les groupes par exemple (générateurs))

Oui, et aussi les notions de famille libre et de base, ce qui donne entre autres un très beau théorème de structure pour les groupes abéliens de type fini.