Famille génératrice

[invited38891a6]

Bonsoir tout le monde. Je vous demande un petit coup de main.
Pourriez-vous m'indiquer comment démontrer que cette famille de vecteurs est ou n'est pas génératrice ?
((0,1,-1),(1,0,-1),(1,-1,0))
PS : Travaille dans R³

Merci beaucoup
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[inviteaf1870ed]

Prends un vecteur quelconque de R³, disons (a,b,c), peux tu l'écrire comme combinaison linéaire de tes 3 éléments ?

[invite636fa06b]

Bonsoir,

Je pense que la méthode systématique consiste à calculer le déterminant de la matrice associée.
Dans le cas très simple que tu soumets, il n'est pas difficile de montrer que tes vecteurs sont libres (écrit aV1+bV2+cV3=0 et montre que a=b=c=0) et qu'ils sont générateurs (prends un vecteur (x, y,z) et exhibe la combinaison de tes vecteurs qui donne ce vecteur)
[edit] Télescopage

[invited38891a6]

Si je dis que : ((0,1,-1),(1,0,-1),(1,-1,0)) = (u,v,w)
alors w=v-u . Ok, mais je ne vois pas quoi faire de ça? :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Tu viens de montrer que ta famille est liée, donc elle ne peut engendrer un e.v. de dimension 3, elle n'est donc pas génératrice de R³.

Cherche un contre exemple : un vecteur de R³ qui ne s'écrit PAS comme combinaison linéaire de u,v et w.

[invited38891a6]

Merci pour votre aide

[invited38891a6]

Coucou, j'ai encore une petite question. Est ce que, à partir du moment où une famille n'est pas liée, elle est forcément génératrice ?

[invite4793db90]

Salut,

non, par exemple la famille {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} est libre mais n'engendre pas R³.

Cordialement.

[invite8740d5f2]

Bonjour,

Donc si j'ai bien compris, une famille liée ne peut être génératrice, ok

Existe-t-il maintenant des cas où une famille libre n'est pas génératrice ?

Et dans le cas que vous venez d'évoquer : la famille {(1,0,0),(0,1,0)}, comment fait-on pour prouver qu'elle est bien génératrice ?

J'arrive à comprendre le concept de famille génératrice, mais dès que je me lance dans les exercices je suis perdue !!

Merci

[inviteea028771]

Donc si j'ai bien compris, une famille liée ne peut être génératrice, ok

Existe-t-il maintenant des cas où une famille libre n'est pas génératrice ?

Une famille liée peut être génératrice, tout comme une famille libre n'est pas forcement génératrice, il faut préciser de quoi.

Une famille liée à n éléments ne peux pas être génératrice d'un sous espace vectoriel à n dimension. Par contre il existe des familles liées à n éléments qui génèrent des sous espaces vectoriels de dimension n-1 (ou n-2 ... ou de dimension 1)

De même une famille libre à n éléments génère un sous espace vectoriel à n dimensions, mais elle ne pourra pas générer un sous espace vectoriel de dimension n+1

De façon plus mathématique, Soit une famille de vecteurs de l'espace vectoriel

Alors si est une famille libre


Sinon

[invite8740d5f2]

Donc si on me donne par exemple la famille (1,2,0), (0,1,0), (1,2,3) qui me semble libre, comment procède-t-on pour savoir si elle est génératrice d'un sous-espace vectoriel dans R3?

[inviteea028771]

C'est une famille libre de 3 vecteurs, elle génère donc un sous espace vectoriel à 3 dimensions dans R3, c'est à dire qu'elle génère R3

[invite3d3c8be1]

Bonjour,
voici un lien qui pourra t' aider:http://www.canal-u.tv/producteurs/le...ions_lineaires