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Famille génératrice



  1. #1
    Carl74100

    Exclamation Famille génératrice


    ------

    Bonsoir tout le monde. Je vous demande un petit coup de main.
    Pourriez-vous m'indiquer comment démontrer que cette famille de vecteurs est ou n'est pas génératrice ?
    ((0,1,-1),(1,0,-1),(1,-1,0))
    PS : Travaille dans R3

    Merci beaucoup

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : Famille génératrice

    Prends un vecteur quelconque de R3, disons (a,b,c), peux tu l'écrire comme combinaison linéaire de tes 3 éléments ?

  4. #3
    zinia

    Re : Famille génératrice

    Bonsoir,

    Je pense que la méthode systématique consiste à calculer le déterminant de la matrice associée.
    Dans le cas très simple que tu soumets, il n'est pas difficile de montrer que tes vecteurs sont libres (écrit aV1+bV2+cV3=0 et montre que a=b=c=0) et qu'ils sont générateurs (prends un vecteur (x, y,z) et exhibe la combinaison de tes vecteurs qui donne ce vecteur)
    [edit] Télescopage

  5. #4
    Carl74100

    Re : Famille génératrice

    Si je dis que : ((0,1,-1),(1,0,-1),(1,-1,0)) = (u,v,w)
    alors w=v-u . Ok, mais je ne vois pas quoi faire de ça? :/

  6. #5
    ericcc

    Re : Famille génératrice

    Tu viens de montrer que ta famille est liée, donc elle ne peut engendrer un e.v. de dimension 3, elle n'est donc pas génératrice de R3.

    Cherche un contre exemple : un vecteur de R3 qui ne s'écrit PAS comme combinaison linéaire de u,v et w.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Carl74100

    Re : Famille génératrice

    Merci pour votre aide

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  10. #7
    Carl74100

    Re : Famille génératrice

    Coucou, j'ai encore une petite question. Est ce que, à partir du moment où une famille n'est pas liée, elle est forcément génératrice ?

  11. #8
    martini_bird

    Re : Famille génératrice

    Salut,

    non, par exemple la famille {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} est libre mais n'engendre pas R³.

    Cordialement.

  12. #9
    davam

    Re : Famille génératrice

    Bonjour,

    Donc si j'ai bien compris, une famille liée ne peut être génératrice, ok

    Existe-t-il maintenant des cas où une famille libre n'est pas génératrice ?

    Et dans le cas que vous venez d'évoquer : la famille {(1,0,0),(0,1,0)}, comment fait-on pour prouver qu'elle est bien génératrice ?

    J'arrive à comprendre le concept de famille génératrice, mais dès que je me lance dans les exercices je suis perdue !!

    Merci

  13. #10
    Tryss

    Re : Famille génératrice

    Donc si j'ai bien compris, une famille liée ne peut être génératrice, ok

    Existe-t-il maintenant des cas où une famille libre n'est pas génératrice ?
    Une famille liée peut être génératrice, tout comme une famille libre n'est pas forcement génératrice, il faut préciser de quoi.

    Une famille liée à n éléments ne peux pas être génératrice d'un sous espace vectoriel à n dimension. Par contre il existe des familles liées à n éléments qui génèrent des sous espaces vectoriels de dimension n-1 (ou n-2 ... ou de dimension 1)

    De même une famille libre à n éléments génère un sous espace vectoriel à n dimensions, mais elle ne pourra pas générer un sous espace vectoriel de dimension n+1

    De façon plus mathématique, Soit une famille de vecteurs de l'espace vectoriel

    Alors si est une famille libre


    Sinon

  14. #11
    davam

    Re : Famille génératrice

    Donc si on me donne par exemple la famille (1,2,0), (0,1,0), (1,2,3) qui me semble libre, comment procède-t-on pour savoir si elle est génératrice d'un sous-espace vectoriel dans R3?

  15. #12
    Tryss

    Re : Famille génératrice

    C'est une famille libre de 3 vecteurs, elle génère donc un sous espace vectoriel à 3 dimensions dans R3, c'est à dire qu'elle génère R3

  16. Publicité
  17. #13
    POPOUCOSAM

    Re : Famille génératrice

    Bonjour,
    voici un lien qui pourra t' aider:http://www.canal-u.tv/producteurs/le...ions_lineaires
    Le Vrai, le Bien, le Beau.....

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