triangle rectangle

[invite7d706be7]

bonjour

est ce que j'ai le droit de dire si (AB/AC)= cos(BÂC) alors ABC est rectangle en B
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[gg0]

Bonjour.

Je suppose que le cosinus n'est ni nul, ni égal à 1. Et que les points A, B et C ne sont pas alignés ou confondus. Dans ce cas, on démontre assez facilement que c'est correct, en utilisant le projeté orthogonal B' de B sur (AC) et en déduisant de l'égalité le fait que B'=B.

Cordialement.

[invite08dcb966]

Bonjour,

Oui, en voici une démonstration :
D'après le théorème d'Al-Kashi on a :
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC cos(BÂC) et si cos(BÂC) = AB/AC on a :
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC (AB/AC) = AC^2 - AB^2 et en ajoutant AB^2 à cette égalité on obtient :
AB^2 + BC^2 = AC^2 donc d'après le théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B.