L'équation paramétrique d'une spire est la suivante:
avecle rayon et
J'ai calculé l'intégrale curviligne de la fonction
avec
J'aimerai tout d'abord savoir si c'est correct avant de poursuivre.
Pour
Merci.
C'est juste et pour t'en convaincre, tu peux dérouler cette spire et ce que tu as écrit n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore.
Oki, merci
La seconde étape est-celle ci:
J'aimerai caluler l'aire de la surface que le rayon parcourt en montant le long de la spire.
J'ai pensé à intégrer la droite
Ce qui me fait
Là se pose un problème, quand
Laquelle des deux est bonne???
MErci
Pas aussi simple : il faut prendre un élément de surface entre r et r + dr quand l'angle varie entre alpha et alpha + d (alpha). C'est une surface gauche qu'il faut approximer.
On arrive à une intégrale de 0 à R de
Racine (r² + (h/2 pi)²)
Est-ce que tu sais faire ?
je ne comprends pas
J'ai peur que ce soit un peu difficile sans faire plein de petits dessins.
Première étape : identifier un élément de surface infinitésimal. Tu vas prendre 2 rayons horizontaux (n'est-ce pas ?) correspondant à alpha et alpha + delta(alpha). Ils ne sont pas parallèles mais sont à la même hauteur. Si on ajoute l'axe Oz et l'hélice, ils délimitent une petite surface gauche (= pas plane). On ne peut pas assimiler cette petite surface à un rectangle pour calculer sa surface, il faut donc encore la subdiviser.
Pour la subdiviser, tu imagines 2 cylindres de rayons r et r+delta(r) qui vont découper sur la petite surface ci-dessus un tout petit rectangle, qu'on peut supposer plan et dont tu vas calculer les côtés. C'est de la géométrie.
Seconde étape : additionner tous ces petits rectangles par intégration. Tu vas tomber sur l'intégrale que j'évoquais.
Bon courage.
Ils ne sont pas du tout à la même hauteur!Envoyé par Jeanpaul
Je voulais dire qu'ils étaient parallèles à xOy. C'est bien le cas, n'est-ce pas ?
oui, c bien le cas
Tu devrais y arriver, moyennant un dessin grand et propre.
ce qui m'embete avec ta formule, c'est qu'avec
Je pense que la formule de Jeanpaul ne sert qu'à calculer l'aire parcourue entre alpha et alpha + delta(alpha). Si tu réintègres ensuite de 0 à 2.PI ça doit marcher.
Pour h = 0, tu te retrouves avec intégrale (par rapport à r) de r de 0 à R, donc R²/2, et si tu réintègres (par rapport à alpha) de 0 à 2.PI, ça donne bien PI.R²
Exact et merci.
vous pourriez me dire clairement le étape que je dois faire, intégrer quoi par rapport à quel variable car j'arrive avec des logarithmes dans ma formule :s
vous pourriez me dire clairement le étape que je dois faire, intégrer quoi par rapport à quel variable car j'arrive avec des logarithmes dans ma formule :s
Je n'ai pas vérifié la formule de Jeanpaul ni fait le calcul, mais ça m'a l'air de découler d'une simple application de Pythagore pour calculer la longueur en oblique du rectangle infinitésimal de largeur dr et en utilisant le fait que la longueur d'un arc est égal au rayon multiplié par l'angle en radians (ici
Donc ça devrait donner:
Par rapport à tes notations, r a été remplacé par R.
j'arrive à une formule immonde, c pas normal :s
Déjà que l'intégration sur alpha est triviale (normal : la surface est proportionnelle à l'angle de l'hélice).
Ensuite, si on pose r = (h/2 pi) u, on se ramène à une intégrale classique racine (u²+1)
Sur l'intégrale, on voit déjà que si h = 0 ou presque, l'aire vaut bien pi * R²
