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Spires et Intégrales



  1. #1
    Herbiti

    Spires et Intégrales


    ------

    L'équation paramétrique d'une spire est la suivante:



    avec le rayon et la hauteur de la spire.

    J'ai calculé l'intégrale curviligne de la fonction le long de cette courbe de à (pour une spire) et j'ai trouvé cela:

    avec , le périmètre de la spire.

    J'aimerai tout d'abord savoir si c'est correct avant de poursuivre.

    Pour , on retombe sur le cercle et la formule a l'air correcte:

    Merci.

    -----
    Herbiti

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Spires et Intégrales

    C'est juste et pour t'en convaincre, tu peux dérouler cette spire et ce que tu as écrit n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore.

  4. #3
    Herbiti

    Re : Spires et Intégrales

    Oki, merci

    La seconde étape est-celle ci:
    J'aimerai caluler l'aire de la surface que le rayon parcourt en montant le long de la spire.
    J'ai pensé à intégrer la droite de à :

    Ce qui me fait .
    Là se pose un problème, quand , l'aire du cercle vaut . Alors, je pense à ce que l'aire du rayon de la spire est .
    Laquelle des deux est bonne???

    MErci
    Herbiti

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Spires et Intégrales

    Pas aussi simple : il faut prendre un élément de surface entre r et r + dr quand l'angle varie entre alpha et alpha + d (alpha). C'est une surface gauche qu'il faut approximer.
    On arrive à une intégrale de 0 à R de
    Racine (r² + (h/2 pi)²)
    Est-ce que tu sais faire ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Herbiti

    Re : Spires et Intégrales

    je ne comprends pas
    Herbiti

  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Spires et Intégrales

    J'ai peur que ce soit un peu difficile sans faire plein de petits dessins.
    Première étape : identifier un élément de surface infinitésimal. Tu vas prendre 2 rayons horizontaux (n'est-ce pas ?) correspondant à alpha et alpha + delta(alpha). Ils ne sont pas parallèles mais sont à la même hauteur. Si on ajoute l'axe Oz et l'hélice, ils délimitent une petite surface gauche (= pas plane). On ne peut pas assimiler cette petite surface à un rectangle pour calculer sa surface, il faut donc encore la subdiviser.
    Pour la subdiviser, tu imagines 2 cylindres de rayons r et r+delta(r) qui vont découper sur la petite surface ci-dessus un tout petit rectangle, qu'on peut supposer plan et dont tu vas calculer les côtés. C'est de la géométrie.

    Seconde étape : additionner tous ces petits rectangles par intégration. Tu vas tomber sur l'intégrale que j'évoquais.
    Bon courage.

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  10. #7
    Herbiti

    Re : Spires et Intégrales

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Ils ne sont pas parallèles mais sont à la même hauteur.
    Ils ne sont pas du tout à la même hauteur!
    Herbiti

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Spires et Intégrales

    Je voulais dire qu'ils étaient parallèles à xOy. C'est bien le cas, n'est-ce pas ?

  12. #9
    Herbiti

    Re : Spires et Intégrales

    oui, c bien le cas
    Herbiti

  13. #10
    Jeanpaul

    Re : Spires et Intégrales

    Tu devrais y arriver, moyennant un dessin grand et propre.

  14. #11
    Herbiti

    Re : Spires et Intégrales

    ce qui m'embete avec ta formule, c'est qu'avec , on ne retombe pas sur l'aire du cercle:
    Herbiti

  15. #12
    matthias

    Re : Spires et Intégrales

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    On arrive à une intégrale de 0 à R de
    Racine (r² + (h/2 pi)²)
    Citation Envoyé par Herbiti
    ce qui m'embete avec ta formule, c'est qu'avec , on ne retombe pas sur l'aire du cercle
    Je pense que la formule de Jeanpaul ne sert qu'à calculer l'aire parcourue entre alpha et alpha + delta(alpha). Si tu réintègres ensuite de 0 à 2.PI ça doit marcher.

    Pour h = 0, tu te retrouves avec intégrale (par rapport à r) de r de 0 à R, donc R²/2, et si tu réintègres (par rapport à alpha) de 0 à 2.PI, ça donne bien PI.R²

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  17. #13
    Jeanpaul

    Re : Spires et Intégrales

    Citation Envoyé par matthias
    Je pense que la formule de Jeanpaul ne sert qu'à calculer l'aire parcourue entre alpha et alpha + delta(alpha). Si tu réintègres ensuite de 0 à 2.PI ça doit marcher.

    Pour h = 0, tu te retrouves avec intégrale (par rapport à r) de r de 0 à R, donc R²/2, et si tu réintègres (par rapport à alpha) de 0 à 2.PI, ça donne bien PI.R²
    Exact et merci.

  18. #14
    Herbiti

    Re : Spires et Intégrales

    vous pourriez me dire clairement le étape que je dois faire, intégrer quoi par rapport à quel variable car j'arrive avec des logarithmes dans ma formule :s
    Herbiti

  19. #15
    Herbiti

    Re : Spires et Intégrales

    vous pourriez me dire clairement le étape que je dois faire, intégrer quoi par rapport à quel variable car j'arrive avec des logarithmes dans ma formule :s
    Herbiti

  20. #16
    matthias

    Re : Spires et Intégrales

    Je n'ai pas vérifié la formule de Jeanpaul ni fait le calcul, mais ça m'a l'air de découler d'une simple application de Pythagore pour calculer la longueur en oblique du rectangle infinitésimal de largeur dr et en utilisant le fait que la longueur d'un arc est égal au rayon multiplié par l'angle en radians (ici ).
    Donc ça devrait donner:



    Par rapport à tes notations, r a été remplacé par R.

  21. #17
    Herbiti

    Re : Spires et Intégrales

    j'arrive à une formule immonde, c pas normal :s
    Herbiti

  22. #18
    Jeanpaul

    Re : Spires et Intégrales

    Déjà que l'intégration sur alpha est triviale (normal : la surface est proportionnelle à l'angle de l'hélice).
    Ensuite, si on pose r = (h/2 pi) u, on se ramène à une intégrale classique racine (u²+1)

    Sur l'intégrale, on voit déjà que si h = 0 ou presque, l'aire vaut bien pi * R²

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