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exercice



  1. #1
    darkvad

    exercice

    Bonjour,
    j'ai un exo à faire et j'aurai besoin de votre aide , la 1er question je l'ai fait , et maintenant je suis à la deuzième question , et on me demande de dévellopper (1+x²)f' ,et donc je trouve 1 . Mais après je ne sais pas comment on fait pour trouver que c'est égal à 0 .
    (c'est l'exo 20 )

    Merci d'avance

    -----

    Images attachées Images attachées

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  3. #2
    jamo

    Re : exercice

    Bonjour
    n>=1 d’après l’énoncé
    si n=1 c'est la dérivée seconde devant (1+x²) ,il reste un autre terme ....

  4. #3
    darkvad

    Re : exercice

    Je ne comprends pas trop , si n=1 , alors (1+x²)f^(n+1)=(1+x²)f^2 ? mais je comprends pastrop ce que tu veux dire par"il reste un autre terme" ,
    Faut-il mettre à la place de f^2 , (P'2' (x) /((1+x²)^2)) ?

  5. #4
    jamo

    Re : exercice

    si n=1
    (1+x²)f'(x) (dérivée seconde , je préfère écrire car je ne vois pas de différence entre le shift 3 et 4 ) +2xf'(x) , il faudra calculer

  6. #5
    darkvad

    Re : exercice

    ouii mais dans l'énoncée c'est n>=2 , donc on ne peut pas prendre n=1 ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jamo

    Re : exercice

    autant pour moi , désolé , tu prendras n=2 et ça sera dérivée d'ordre 3 en utilisant la propriété du dessus ( déterminer le polynôme )

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  10. #7
    darkvad

    Re : exercice

    Donc on a : (1+x²)f^3(x) +2nxf^n(x) +n(n-1)f^(n-1)(x)=0 avec f^3(x)=P'3'(x)/((1+x²)^2) ? ensuite je continue ?

  11. #8
    jamo

    Re : exercice

    pourquoi tu laisses n dans cette expression (1+x²)f^3(x) +2nxf^n(x) +n(n-1)f^(n-1)(x) puisque n=2 et tu as dérivé f trois fois ?
    l’égalité avec 0 c'est qu'il faudra trouver et tu ne peux l’écrire avant .

  12. #9
    darkvad

    Re : exercice

    oui j'ai dérivé f trois fois et j'obtiens f'''=(2-2x)/(1+x²)²

  13. #10
    jamo

    Re : exercice

    il faudra calculer l'expression (1+x²)f"'(x)+4xf"(x)+2f'(x)

  14. #11
    darkvad

    Re : exercice

    Donc en faite il faut calculer f'''(x) , f''(x) et f'(x) , on a f''(x)=2x/(1+x²)² et f'(x)=1/(1+x²) .
    Et c'est pas plutot f'(x) au lieu de 2f(x) ?
    ainsi en les remplacants on a : (2-2x)/(1+x²) +8x²/(1+x²)² +2/(1+x²)=(4-2x)/(1+x²) +8x²/(1+x²) =0 C'est comme ça ?

  15. #12
    jamo

    Re : exercice

    Citation Envoyé par darkvad Voir le message
    oui j'ai dérivé f trois fois et j'obtiens f'''=(2-2x)/(1+x²)²
    puiss : puissance
    n=2
    Bonjour
    j'ai pour f'(x)=1/(1+x²) , f"(x)=-2x/(1+x²)² et f"'(x)=(8x²-2)/(1+x²)puiss (3)
    en injectant dans la relation , ça donne zéro .
    il faudra le démontrer quelque soit n >=2

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  17. #13
    darkvad

    Re : exercice

    ok , et pour démontrer quelque soit n>=2 , il faut utiliser la récurrence ?

  18. #14
    jamo

    Re : exercice

    je ne vois pas d'autres solutions .

  19. #15
    darkvad

    Re : exercice

    Donc on a pour n>=2,
    et suposson qu'elle soit vrai pour n, prouvons pour n+1 .
    on a : (1+x²)f^(n+2)(x) + 2(n+1)xf^(n+1)(x) +(n+1)(n)f^(n)(x)=0 Or c'est équivaut à :
    (1+x²)f^(n+1)'(x) + 2(n+1)xf^(n)'(x) +(n+1)(n)f^(n)'(x)=0 et on sait quel est dérivable pour n donc vraie

    C'est comme ça ?

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