Bonjour,
Quelqu'un pourrait'il m'aider a démontrer la réciproque de la règle du parallélogramme a savoir:
Si la somme des carrés des longueurs des cotés d'un quadrilatère est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Merci beaucoup.
Doublon.
Et tu as eu une réponse ...
oui doublon, désolé,, j'ai eu une réponse mais j'aimerais juste avoir un précision, si j'utilise le théorème d'al kashi, a quelle caractérisation des parallélogrammes je dois aboutir?
Une caractérisation vectorielle, bien sur !
http://fr.wikipedia.org/wiki/Parall%C3%A9logramme
oui je suis d'accord, mais il y a plein de caractérisation pour un parallélogramme,, et je suis vraiment perdu,
il faut démontrer que si ABCD quadrilatère et
alors on a vecteur(AB)=vecteur(DC)
ou alors que distance AB=distance DC et distance BC = distance AD,, ou alors une autre caractérisation.?
Vraiment désolé, mais je n'y arrive toujours pas
Je part de mon égalité dans un quadrilatère ABCD:
Du théoreme d'al kashi je tire que :
Première diagonale:
Seconde diagonale:
En remplaçant dans l'égalité on obtient:
Je ne vois vraiment pas comment aboutir,, :/
Merci pour toute aide
Et en passant AD² dans le second membre et factorisant (repasser en vecteurs).
Tu pourrais essayer des calculs, sans attendre qu'on te dise; ce que je te propose est assez évident. Mais si on n'essaie pas, on ne trouve rien ...
Tu peux aussi (c'est comme cela que je l'ai fait) faire 2 fois Al Kashi pour chaque diagonale, en passant par les deux sommets opposés. Tu sommes le tout et hop !
Je ne cherche pas a ce qu'on me donne la réponse,, mais j'avoue que j'ai du mal,, et surtout je ne vois pas a quoi je dois aboutir,,, quelle caractérisation,
En faisant ce que gg0 conseille, j'obtiens
C'est cela la factorisation dont vous parler?
Et après bloqué,, je n'ai pas encore les bons réflexes. :/
Tout à fait !je n'ai pas encore les bons réflexes.
Décompose
Cordialement.
Voici ce que je te propose :
AlKashi sur BD (je note les vecteurs sans leur flèche pour aller plus vite)
BD²=BA²+AD²-2AB.AD
=BC²+CD²-2CB.CD
AlKashi sur AC
AC²=AD²+CD²-2DA.DC
=AB²+BC²-2BA.BC
J'additionne le tout, et je tiens compte de l'hypothèse, il me reste que la somme de tous les produits scalaires s'annule :
AB.AD+CB.CD+DA.DC+BA.BC=0 soit
AB.(AD-BC)+CD.(AD-BC)=0
Je te laisse conclure
