règle du parallélogramme

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait t'il m'aider et me donner des éléments de réponses pour démontrer cette proposition:

Soit ABCD un quadrilatère, montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si la somme des carrés
des longueurs de ses cotés est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales.

Pour la première implication, j'ai trouver une démonstration utilisant le théoreme de pythagore que j'ai comprise, mais j'aimerais une autre façon de la démontrer et pour l'implication inverse je n'ai vraiment aucune idée,, je suis partie de l'égalité et j'ai essayé de montrer que les cotés opposés sont de meme longueur, ou qu'iils sont paralléle mais je n'y arrive pas.

Merci d'avance.
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[invite00e5ff84]

soit a b c d les affixes de A B C D étant un parallélogramme,on a vecteurAD=vecteurBC et vecteurAB=vecteurDC
avec les affixes par exemple aff(vecteurAB)=b-a cela s'exprime d-a=c-b et b-a=c-d
posons z=d-a=c-b et z'=b-a=c-d .Alors z+z'=c-a et z-z'=d-b
Avec l'égalité établie au début on a donc abs(c-a)²+abs(d-b)²=abs(d-a)²+abs(c-b)²+abs(b-a)²+abs(c-d)²
c'est à dire AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²
===>abs=valeur absolue

[invite5ffffaa4]

ok merci,, et as tu une idée pour la réciproque?

[invite5ffffaa4]

il y a quelque chose que je ne saisie pas,
De quelle égalité parles tu quand tu dit: "Avec l'égalité établie au début on a donc..."

Je ne comprend pas comment tu trouve l'égalité :
"abs(c-a)²+abs(d-b)²=abs(d-a)²+abs(c-b)²+abs(b-a)²+abs(c-d)²"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ffffaa4]

ok, en faite c'est bon, j'ai compris, mais je ne vois toujours pas comment prouver la réciproque

[inviteaf1870ed]

Je pense que la réciproque se démontre facilement à l'aide du théorème d'Al Kashi, en forme vectorielle :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_d%27Al-Kashi