parallélogramme

[cpalperou]

Bonjour,
voici un exo que je ne sais résoudre:
Soit ABCD un parallélogramme de centre O. On appelle K et J les milieux respectifs de [AD] et [CD]. On appelle L le point d'intersection de (KJ) et (BD).
1/ faire un figure
2/ montrer que L est le milie de [OD] et [KJ]
3/ montrer que O est le centre de gravité du triangle BKJ.

Pour la 1ère question, pas de problème!
Pour la 2ème question, je pense qu'il faut que je démontre que le quadrilatère (OJDK) est un parallélogramme de centre L. Mais, je n'y arrive pas. Peut-être est-ce une mauvaise pîste?
Et, pour la 3ème question, j'avoue ne pas avoir d'idée.

Merci de votre aide.
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[NicoEnac]

Bonjour,

DJ = 1/2.DC et DK = 1/2.DA donc les triangles ACD et KJD sont semblables et Thalès (ou plutôt sa réciproque) nous permet de conclure que AC est parallèle à KJ.
Cela signifie également que AO est parallèle à KL et donc que les triangles DKL et DAO sont semblables. Thalès nous permet d'affirmer alors que DK/DA = DL/DO = KL/AO. Or DK/DA = 1/2 car K est le milieu de [DA]. donc DL = 1/2.DO ce qui prouve que L est le milieu de [OD].
De plus, on a vu que KL/AO = 1/2 et on peut tenir le même raisonnement pour les triangles DLJ et DOC qui nous permettrait de conclure que LJ/OC = 1/2. Or O est centre du parallélogramme ABCD donc AO = OC => KL = 1/2.AO = 1/2.OC = 1/2.(2.LJ) = LJ. Donc L est milieu de [KJ].

Pour la 3), quelle est la définition du centre de gravité ?

[Eurole]

...Pour la 1ère question, pas de problème!
...

Bonjour.
Ce serait bien de voir le dessin sur le forum.

[cpalperou]

Merci NicoEnac pour la question 2

Pour la 3), quelle est la définition du centre de gravité ?

Le centre de gravité est le point d'intersection des médianes. Cela dit, je n'y arrive tooujours pas! Une autre indication stp?

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Si on considère G barycentre de (B;1)(K;1)(J;1). G est le centre de gravité du triangle BKJ. Mais on vient de prouver que L est milieu de [KJ], donc L est barycentre de (K;1)(J;1) et par associativité du barycentre, on peut dire que G est barycentre de (B;1)(L;2). Cela signifie que 2.GL + GB = 0 (je parle ici de vecteurs) (relation 1)

On vient également de prouver que L est milieu de [OD] donc OL = 1/2.OD (en vecteurs) or ABCD est un parallélogramme donc OD = -OB => OL = -1/2.OB (toujours en vecteurs).
Donc OL + 1/2.OB = 0 (vecteur nul) => 2.OL + OB = 0 (vecteur nul) (relation 2)

Conclusion : si on lie la relation 1 et la relation 2, il devient évident que O = G.

[cpalperou]

Merci encore NicoEnac,
j'ai bien compris ta démonstration. Cela dit, cet exo est posé à un élève de seconde (mon fils) qui ne sait pas ce qu'est un barycentre!
Il faut donc résoudre cele sans cette notion de barycentre.
Je n'ai vraiment pas d'idée pour pouvoir l'aider sur cette question

[NicoEnac]

OK alors faisons la démo sans barycentre

Option1 :
G est le centre de gravité de BKJ donc GB + GK + GJ = 0 (vecteurs)
Cela dit, c'est un peu la même chose que le barycentre, désolé mais bon, c'est la définition du centre de gravité.
Tu calcules OK + OJ = (OL + LK) + (OL + LJ) (Chasles)= 2OL car LK = -LJ, L étant le milieu de [KJ].

La relation 2 ne concerne pas le barycentre et donc tu peux reprendre tel quel.

Option2 :
Le centre de gravité d'un triangle est situé au premier tiers de chaque médiane. Au départ je voulais partir de ce résultat plus ou moins connu mais les barycentres me paraissaient mieux pour résoudre l'exercice. Comme il faut faire sans, peut-être que le prof accepte cet argument.
Il suffit donc de prouver que LO = 1/3.LB (car comme L est milieu de [KJ], (LB) est bien une médiane du triangle BKJ)
L est milieu de [OD] donc LO = 1/2.DO = 1/2.OB (car O est centre de ABCD et donc à égale distance de B et de D)
Donc LB = LO + OB = 1/2.OB + OB = 3/2.OB => OB = 2/3.LB => LO = LB - BO = 1/3.LB.
On peut en conclure que O se trouve au tiers de la médiane ce qui en fait le centre de gravité du triangle.

[cpalperou]

Merci beaucoup,
je m'en vais lui expliquer!