Réciproque de la Règle de l'Hospital

[inviteb8a8585a]

Bonjour tout le monde,

Ma question est : sous quelles condition on a la réciproque de la Règle de l'Hospital ?

i.e quand est ce que on a l’implication suivante,

lim_t->infini(f(t)/g(t))=a => lim_t->infini(f'(t)/g'(t))=a

avec a constante dans réelle.

Une deuxième question indépendante de la première :
Est ce qu'on peut calculer l’intégrale de f'(t)/g'(t) au fonction de g(t) ?

Je vous remercie pour votre aide.
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[KerLannais]

Bonjour,

La règle de l'Hopital soit vraie pour pour . Par exemple:



pour ce qui concerne la limite pour , en suposant que tu gardes les hypothèses de la règle de l'hopital ( et dérivables en , et , ) alors la réciproque est également vraie puisque sous ces hypothèses on a

donc si l'un des deux rapport a une limite finie alors les deux ont une limite finie commune. Je dirais que si tu enlève n'importe laquelle des hypothèses de la règle de l'Hopital la réciproque devient fausse.

[gg0]

Pour ta deuxième question :
"Est ce qu'on peut calculer l’intégrale de f'(t)/g'(t) [au] en [?] fonction de g(t) ?"
la réponse est très décevante. Bien qu'on connaisse des primitives de f' et g', il n'y a pas de méthode générale pour intégrer leur quotient. Dans certains cas, on sait même qu'il existre une primitive, mais qu'on ne peut pas l'exprimer algébriquement avec des fonctions "simples". par exemple si on prend :

alors f'(t)/g'(t) a des primitives sur ]0;+oo[ qu'on ne peut pas l'exprimer algébriquement avec des fonctions "simples" (polynômes, fonctions trigo, exponentielles et logarithmes, racines carrés, cubiques, ...).

Cordialement.

[inviteb8a8585a]

Je vous remercie pour vos réponses.

En effet KerLannais, on peut pas avoir la réciproque directement, parmi les hypothèse de la Règle de l'Hospital c'est que la limite du quotient des dérivées doit exister.

Ainsi l'existence de la limite de f sur g, n’implique pas l'existence de la limite du quotient des drivées.

Donc si la limite du quotient des dérivées n'existe pas on ne peut absolument rien dire.

A propos de la réponse de gg0, bien-sur qu'il existe des intégrales elliptiques dont on ne peut jamais connaitre la primitive, mais par exemple dans ma question et avec une simple intégration par partie on peut connaitre l’intégrale du quotient des dérivées au fonction de f.

Je vous remercie infiniement

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