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Règle de l'Hospital



  1. #1
    Ledescat

    Règle de l'Hospital


    ------

    Voilà, je voudrais savoir si la règle de l'Hospital peut s'employer dans nimporte quel type de calcul de limite et pas seulement les FI de type 0/0 infini/infini.

    Car en fait, je dois calculer une limite en + l'infini de quelque chose du type f(x)/x
    Et je connais parfaitement la limite de f'(x), alors que f c'est une horreur (à vrai dire, f est l'intégrale d'une fonction étudiée avant). Par intuition, f doit avoir une limite finie car c'est la primitive d'une fonction en forme de cloche.
    J'espère avoir été clair, merci!

    -----
    Cogito ergo sum.

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  3. #2
    Ledescat

    Re : Règle de l'Hospital

    Je viens de regarder la démonstration du théorème sur wikipedia, et ils utilisent le fait que f(a)=f(b)=0 par exemple, donc qu'il faille nécéssairement du 0/0 ou infini/infini.
    Donc je pense que pour calculer ma limite avec hospital, c'est cuit, pfiouuu alors je vois vraiment pas
    Pi les DL, pas possibles...grr
    Ya rien qui peut nous dire que si f est "en cloche", alors elle son intégrale a une limite finie? ou qqchose du genre (genre le theoreme trop foireux, mais on peut rêver!).
    ps: c'est pas parceque j'utilise le mot cloche que c'est une gaussienne.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Taar

    Re : Règle de l'Hospital

    Salut !

    Comme f' est bornée au voisinage de l'infini, ne peut-on pas utiliser le théorème des accroissements finis pour f sur un intervalle [a,x] ? Ca permettrait déjà de majorer f(x)/x non ?

    Pour plus de précision on doit pouvoir faire du Taylor avec reste intégral je pense.

    A+
    Taar.

  5. #4
    Ledescat

    Re : Règle de l'Hospital

    Merci,je vais tenter un acroissement fini...
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    Ledescat

    Re : Règle de l'Hospital

    En fait il me suffirait de montrer que si f a une dérivée bornée f/x tend vers 0
    Mais premierement je ne sais pas si c'est vraiment juste
    deuxiemement, je ne sais pas trop comment faire;
    Je penserais à quelque chose du genre:
    f '(x)=<M donc f est M-liepschiptzienne
    c'est à dire que pour tout x, pour tout y

    | (f(x)-f(y))/(x-y) | <= |M|

    je pense fixer y, et après...je ne sais plus trop que faire.
    Merci si vous pouviez m'aider.
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ledescat

    Re : Règle de l'Hospital

    Personne pour mon problème?
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    Taar

    Re : Règle de l'Hospital

    Salut !

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    En fait il me suffirait de montrer que si f a une dérivée bornée f/x tend vers 0
    Ben non, prends une fonction affine.

    Mon idée était d'écrire que f(x)/x=f(a)/x+(x-a)f'(c)/x

    (on peut encadrer le reste sans recourir à c mais c'est avec c que c'est le plus simple à voir)

    Soit e (psilon). Choisis a de sorte que f'(c) soit dans [l-e/3,l+e/3] à coup sûr.

    Alors :
    f(a)/x tend vers 0
    (x-a)(l-e/3)/x tend vers l-e/3
    (x-a)(l+e/3)/x tend vers l+e/3

    Donc quitte à prendre x assez grand ...(je te laisse finir)

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 03/02/2007 à 22h47.

  11. #8
    Ledescat

    Re : Règle de l'Hospital

    Ah merci!!!
    Cogito ergo sum.

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