Règle de l'Hospital

[invitec053041c]

Voilà, je voudrais savoir si la règle de l'Hospital peut s'employer dans nimporte quel type de calcul de limite et pas seulement les FI de type 0/0 infini/infini.

Car en fait, je dois calculer une limite en + l'infini de quelque chose du type f(x)/x
Et je connais parfaitement la limite de f'(x), alors que f c'est une horreur (à vrai dire, f est l'intégrale d'une fonction étudiée avant). Par intuition, f doit avoir une limite finie car c'est la primitive d'une fonction en forme de cloche.
J'espère avoir été clair, merci!
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[invitec053041c]

Je viens de regarder la démonstration du théorème sur wikipedia, et ils utilisent le fait que f(a)=f(b)=0 par exemple, donc qu'il faille nécéssairement du 0/0 ou infini/infini.
Donc je pense que pour calculer ma limite avec hospital, c'est cuit, pfiouuu alors je vois vraiment pas
Pi les DL, pas possibles...grr
Ya rien qui peut nous dire que si f est "en cloche", alors elle son intégrale a une limite finie? ou qqchose du genre (genre le theoreme trop foireux, mais on peut rêver!).
ps: c'est pas parceque j'utilise le mot cloche que c'est une gaussienne.

[invite9cf21bce]

Salut !

Comme f' est bornée au voisinage de l'infini, ne peut-on pas utiliser le théorème des accroissements finis pour f sur un intervalle [a,x] ? Ca permettrait déjà de majorer f(x)/x non ?

Pour plus de précision on doit pouvoir faire du Taylor avec reste intégral je pense.

A+
Taar.

[invitec053041c]

Merci,je vais tenter un acroissement fini...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

En fait il me suffirait de montrer que si f a une dérivée bornée f/x tend vers 0
Mais premierement je ne sais pas si c'est vraiment juste
deuxiemement, je ne sais pas trop comment faire;
Je penserais à quelque chose du genre:
f '(x)=<M donc f est M-liepschiptzienne
c'est à dire que pour tout x, pour tout y

| (f(x)-f(y))/(x-y) | <= |M|

je pense fixer y, et après...je ne sais plus trop que faire.
Merci si vous pouviez m'aider.

[invitec053041c]

Personne pour mon problème?

[invite9cf21bce]

Salut !

En fait il me suffirait de montrer que si f a une dérivée bornée f/x tend vers 0

Ben non, prends une fonction affine.

Mon idée était d'écrire que f(x)/x=f(a)/x+(x-a)f'(c)/x

(on peut encadrer le reste sans recourir à c mais c'est avec c que c'est le plus simple à voir)

Soit e (psilon). Choisis a de sorte que f'(c) soit dans [l-e/3,l+e/3] à coup sûr.

Alors :
f(a)/x tend vers 0
(x-a)(l-e/3)/x tend vers l-e/3
(x-a)(l+e/3)/x tend vers l+e/3

Donc quitte à prendre x assez grand ...(je te laisse finir)

Taar.

[invitec053041c]

Ah merci!!!