Règle de Cauchy

[invite51a3f1d4]

Bonjour ; alors, l'énoncé (incomplet) de cette règle est :
"Si U(n) > 0 et U(n+1)/U(n) tend vers l alors (Racine nème)(U(n)) tend vers l"
Je voudrais savoir pour quelles valeurs de l cette règle est valable ; pour l > 1 ça marche mais que dire dans les autres cas (l=1 et 0<l<1) ?
Merci d'avance
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[inviteae1ed006]

Dans le cas que tu as cité () c'est vrai pour toutes les valeurs de l.

[invite51a3f1d4]

Je précise un peu les choses ; voici le début de la démonstration :
U(n+1)/U(n) tend vers l donc U(n+1)/U(n) eq l
Le cas l=0 se traite à part et fonctionne ; la démonstation consiste à passer au log puis à revenir ensuite à l'exp. Mais ln(U(n+1)/U(n)) eq ln l est valable seulement si l est différent de 1. Ensuite on utilise le théorème de Césaro pour passer aux équivalents avec les sommes partielles mais il faut des séries positives et ln l n'est pas à priori positif !

[inviteae1ed006]

Si alors il existe n à partir duquel :
de même :

ect...j'usqu'à n+m
en multipliant tous les termes, on a:

et en passant à la puissance 1/(m+n), puis en prenant la limite en m, on a fini la démonstration...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51a3f1d4]

Ah ben oui c vrai que cette démo marche bien ; merci Tize !