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Règle de Cauchy



  1. #1
    Coco Beach

    Question Règle de Cauchy


    ------

    Bonjour ; alors, l'énoncé (incomplet) de cette règle est :
    "Si U(n) > 0 et U(n+1)/U(n) tend vers l alors (Racine nème)(U(n)) tend vers l"
    Je voudrais savoir pour quelles valeurs de l cette règle est valable ; pour l > 1 ça marche mais que dire dans les autres cas (l=1 et 0<l<1) ?
    Merci d'avance

    -----

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  4. #2
    tize

    Re : Règle de Cauchy

    Dans le cas que tu as cité () c'est vrai pour toutes les valeurs de l.
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  5. #3
    Coco Beach

    Re : Règle de Cauchy

    Je précise un peu les choses ; voici le début de la démonstration :
    U(n+1)/U(n) tend vers l donc U(n+1)/U(n) eq l
    Le cas l=0 se traite à part et fonctionne ; la démonstation consiste à passer au log puis à revenir ensuite à l'exp. Mais ln(U(n+1)/U(n)) eq ln l est valable seulement si l est différent de 1. Ensuite on utilise le théorème de Césaro pour passer aux équivalents avec les sommes partielles mais il faut des séries positives et ln l n'est pas à priori positif !


  6. #4
    tize

    Re : Règle de Cauchy

    Si alors il existe n à partir duquel :
    de même :

    ect...j'usqu'à n+m
    en multipliant tous les termes, on a:

    et en passant à la puissance 1/(m+n), puis en prenant la limite en m, on a fini la démonstration...
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Coco Beach

    Re : Règle de Cauchy

    Ah ben oui c vrai que cette démo marche bien ; merci Tize !

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