demande renseignement minimum d'une fonction !!

[invite4930e0ce]

salut ,

svp si on a f une fonction continue et f:R->R tels que pour un ceratain nombre a>0 on a f(x)>ax²
on suppose prouver que f atteint son minimum sur R.

- on a pour a>0 f(x)>ax²>0 d'ou 0 est un minorant de 0 sur R de plus 0 appartient au domaine d'arrivé de f (R), d'ou 0 est un minimum.
- il existe a>0 tels que f(|x|)>f(y) pour x>a et -a<y<a

et après comment réagir pour prouver qu'il existe c appartient à R tels que f(c)=0?

et merci
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, premièrement c'est incompréhensible, relis toi un minimum

Sinon, ce n'est pas parce que que , donc 0 n'est certainement pas un minimum car f est à valeur strictement positive d'après ton énoncé.

C'est une fonction que l'on appelle coercive, même si ici les propriété que tu as donnés sont un peu plus forte. En général, une fonction coercive (a pour limite en et )

Voici ce que je ferai: comme est minorée par 0 par exemple, les valeurs prises par admettent une borne inférieure. Notons par exemple cette valeur. Essaye de te placer sur un intervalle fermé intéressant vis à vis de , tu peux utiliser ta condition avec , puis tu conclus comme est continue et ton intervalle est fermé.

RoBeRTo

[yootenhaiem]

Bonsoir,

Je n'ai pas compris ta question!

Veux tu montrer que f admet un minimum?
Si c'est ca, supposons le contraire. dans ce ca f a une limite infinie et negative en + ou -l'infini. Or f est toujours positive.

[RoBeRTo-BeNDeR]

yootenhaiem, ici la propriété importante est la continuité. Ici il ne veut pas démontrer que f admet un minimum, mais que f atteint son minimum, c'est un abus de langage car parler de minimum implique que f l'atteint, c'est plutôt que f atteint la borne inférieure de ses valeurs. Ici l'hypothèse de continuité est importante. Par exemple, si a=1, on peu prendre f(x)=x²+1 pour x non nul, et f(0)=2 alors f n'atteins pas son "minimum".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4930e0ce]

ah merci j'ai tout bien compris,

désolé puisque j'ai mal posé le problème
le but c'est de prouver que f atteint son minimum (et en montrant qu'elle est continue sur un intervalle fermé, donc elle est bornée et elle atteint ses bornes)

merci

[yootenhaiem]

Ah ok.

Je n'avais pas saisi des le début.

On pourrait généraliser la notion: f continue sur un compact alors elle est bornée elle atteint ses bornes.

Bonne soirée,
M.