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Le minimum d'une fonction



  1. #1
    lamarie75

    Post Le minimum d'une fonction

    Dans un DM de mathématiques, je suis bloquée à la question suivante:

    Montrer que sur l'intervalle ]0;+ inf [, f admet un minimum.

    f(x) = x + 1/x


    Or je ne sais pas comment faire. J'ai essayé d'encadrer mais cela ne sert à rien. J'ai aussi essayé de déterminer le minimum m en partant de:
    f(m)<=f(x) donc f(m) - f(x) <= O

    On a donc f(m)-f(x) = (m-1/m)-(x-1/x)

    Ca me donne à la fin f(m)-f(x) = ((m-1)/"racine de m ") ((x-1)/"racine de x").
    Je pense pas que ce soit pratique pour trouver les valeurs pour lesquelles le produits s'annulent.
    En gros j'ai faux!! Donc s'il vous plaît HELP!!!!

    -----


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  3. #2
    googlemaps

    Re : Le minimum d'une fonction

    signe de (x+1)/x = signe de (x+1)*x

  4. #3
    googlemaps

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par googlemaps Voir le message
    signe de (x+1)/x = signe de (x+1)*x
    oups desolé j'été à l'ouest

  5. #4
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par googlemaps Voir le message
    signe de (x+1)/x = signe de (x+1)*x
    Euh en quoi ça peut m'aider pour trouver le minimum.
    Je crois que j'ai mal noter l'expression: f(x) = x + (1/x)

  6. #5
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par googlemaps Voir le message
    oups desolé j'été à l'ouest
    lol ok pas grave... mais bon si tu sais comment faire n'hésite à me partager tes idées..

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    emoc11

    Re : Le minimum d'une fonction

    Bonjour, il te suffit de prouver que pour tout X la fonction est supérieur ou égale a un chiffre. Tu as du faire quelque chose la dessus dans ton cours, n'hésite pas a le relire. Et cherche aussi dans ton livre y auras forcément la méthode !

    Bonne chance

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  10. #7
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par emoc11 Voir le message
    Bonjour, il te suffit de prouver que pour tout X la fonction est supérieur ou égale a un chiffre. Tu as du faire quelque chose la dessus dans ton cours, n'hésite pas a le relire. Et cherche aussi dans ton livre y auras forcément la méthode !

    Bonne chance
    J'ai trouvé f(x) > O mais c'est idiot puisque c'est donné dans l'énoncé et en plus c'est pas un minorant, pas un minimum..donc la je sais pas quoi faire...des pistes peut-être?

  11. #8
    emoc11

    Re : Le minimum d'une fonction

    Tu sais, il y a beaucoup d'exercice idiots ^^ !
    Un minorant c'est juste une valeur appartenant a la fonction sachant que cette fonction n'existe qu'au dessus de cette valeur. Si ta fonction n'est pas définis en dessous de 0 alors f(x) > 0 et donc 0 est le minorant ! Pour moi tu as finis =) !
    Vérifis quand meme avec ta calculette (fait le graphique) voir si c'est bon.

  12. #9
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par emoc11 Voir le message
    Tu sais, il y a beaucoup d'exercice idiots ^^ !
    Un minorant c'est juste une valeur appartenant a la fonction sachant que cette fonction n'existe qu'au dessus de cette valeur. Si ta fonction n'est pas définis en dessous de 0 alors f(x) > 0 et donc 0 est le minorant ! Pour moi tu as finis =) !
    Vérifis quand meme avec ta calculette (fait le graphique) voir si c'est bon.
    OUI mais non ... C'est ce que je me suis dis et puis après je me suis dit non parce qu'on cherche le MINIMUM (enfin "montrer que la fonction f admet un minimum") donc il faut que je trouve une inégalité large.... et avec 0 c'est pas le cas...

  13. #10
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par lamarie75 Voir le message
    OUI mais non ... C'est ce que je me suis dis et puis après je me suis dit non parce qu'on cherche le MINIMUM (enfin "montrer que la fonction f admet un minimum") donc il faut que je trouve une inégalité large.... et avec 0 c'est pas le cas...
    En plus 0 est le minorant seulement sur l'intervalle ]0; +inf [ parce que la fonction f existe sur ]-inf ; 0 [

  14. #11
    emoc11

    Re : Le minimum d'une fonction

    Montrer que sur l'intervalle ]0;+ inf [, f admet un minimum.
    L'énoncé te demander un minimum sur cet interval, pas sur la totalité du domaine de definition ! Le but de l'exo est juste de tentrainer a prouver le minimum, c'est tout ^^ !

  15. #12
    googlemaps

    Re : Le minimum d'une fonction

    voilà pour me faire pardonner lol :

    (x-1)²>= 0 (un nombre au carré est toujours positif)
    x²-2x+1>=0
    x²+1>=2x
    (x²+1)/x>=2 (on divise par x qui est un nombre >0, donc on change pas le sens de l'inégalité)

    x+1/x>=2

    f(x) >= 2 quelque soit x>0

    PS f(1) = 2 c'est à 1 où f est minimale

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  17. #13
    emoc11

    Re : Le minimum d'une fonction

    OUI mais non ... C'est ce que je me suis dis et puis après je me suis dit non parce qu'on cherche le MINIMUM (enfin "montrer que la fonction f admet un minimum") donc il faut que je trouve une inégalité large.... et avec 0 c'est pas le cas...
    Tu ne peux pas trouver d'inégalité large pour 0, celui-ci n'étant pas définit dans le domaine d'étude x) !

  18. #14
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par emoc11 Voir le message
    L'énoncé te demander un minimum sur cet interval, pas sur la totalité du domaine de definition ! Le but de l'exo est juste de tentrainer a prouver le minimum, c'est tout ^^ !
    donc dire que f(x) >0 ca suffit alrs que je le rapelle 0 N'EST PAS LE MINIMUM MAIS LE MAJORANT SUR L INTERVALLE O + INF

  19. #15
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par googlemaps Voir le message
    voilà pour me faire pardonner lol :

    (x-1)²>= 0 (un nombre au carré est toujours positif)
    x²-2x+1>=0
    x²+1>=2x
    (x²+1)/x>=2 (on divise par x qui est un nombre >0, donc on change pas le sens de l'inégalité)

    x+1/x>=2

    f(x) >= 2 quelque soit x>0

    PS f(1) = 2 c'est à 1 où f est minimale
    MDR c'est les réponses aux questions suivantes

  20. #16
    googlemaps

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par lamarie75 Voir le message
    MDR c'est les réponses aux questions suivantes
    tan mieu alors pardoné pour ma betise?

  21. #17
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    4 a. Soit a un réel tel que a>= 2
    Montrer que sur l'intervalle précedent f(x)=a est une equation du second degre avc au moins une solution.
    J'ai trouvé x²-2x-1
    apres les autres je sais pas comment faire :
    c. determiner que pour tout a>2 les solutions sont positives...

  22. #18
    emoc11

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par lamarie75 Voir le message
    donc dire que f(x) >0 ca suffit alrs que je le rapelle 0 N'EST PAS LE MINIMUM MAIS LE MAJORANT SUR L INTERVALLE O + INF
    FAUX : 0 ne peut être le majorant, +inf est forcément plus grand que 0. Relis ton cours.

    Majorant : M la valeur la plus grande pour laquelle la fonction/suite est définit.
    Minorant : m la valeur la plus petite pour laquelle la fonction/suite est définit.

    m < f(x) < M

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  24. #19
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par emoc11 Voir le message
    FAUX : 0 ne peut être le majorant, +inf est forcément plus grand que 0. Relis ton cours.

    Majorant : M la valeur la plus grande pour laquelle la fonction/suite est définit.
    Minorant : m la valeur la plus petite pour laquelle la fonction/suite est définit.

    m < f(x) < M
    roo je voulais dire Minorant.. enfin bon ca ne resout pas mon probleme..

  25. #20
    emoc11

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par googlemaps Voir le message
    voilà pour me faire pardonner lol :

    (x-1)²>= 0 (un nombre au carré est toujours positif)
    x²-2x+1>=0
    x²+1>=2x
    (x²+1)/x>=2 (on divise par x qui est un nombre >0, donc on change pas le sens de l'inégalité)

    x+1/x>=2

    f(x) >= 2 quelque soit x>0

    PS f(1) = 2 c'est à 1 où f est minimale
    Si, tu l'as ta réponse, googlemaps te la fournie !

  26. #21
    googlemaps

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par lamarie75 Voir le message
    4 a. Soit a un réel tel que a>= 2
    Montrer que sur l'intervalle précedent f(x)=a est une equation du second degre avc au moins une solution.
    J'ai trouvé x²-2x-1
    non

    x+1/x = a
    x²+1 = ax
    x²-ax+1=0

  27. #22
    googlemaps

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par lamarie75 Voir le message
    roo je voulais dire Minorant.. enfin bon ca ne resout pas mon probleme..
    ah bon?!

    f(x)>=2 quelque soit x>0 donc f est minoré par 2!!

  28. #23
    Duke Alchemist

    Re : Le minimum d'une fonction

    Bonjour.

    Une autre méthode pour le minimum de f :
    f(x) < M
    x+1/x < M
    ...
    x² - Mx + 1 < 0

    Il suffit de chercher la condition pour avoir une racine double et on aboutit à M=2.
    Si si !

    Duke.

    EDIT : bon, cela a été signalé juste au-dessus... Grillé quoi

  29. #24
    emoc11

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par googlemaps Voir le message
    non

    x+1/x = a
    x²+1 = ax
    x²-ax+1=0
    je confirme !

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  31. #25
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    non mais je suis une fille j'ai un peu de mal... et puis je dois trouver le minimum avant les autres questions donc je dois pas m'aider de l'equation du second degre...

  32. #26
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par googlemaps Voir le message
    ah bon?!

    f(x)>=2 quelque soit x>0 donc f est minoré par 2!!
    OUi mais non parce que f(x)>=2 est donné dans la question 4 alrs que je dois trouver le minorant dans le 2.

  33. #27
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    bon bref personne peut m'expliquer simplement et sans utiliser d'equation du second degre...

  34. #28
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par emoc11 Voir le message
    Tu ne peux pas trouver d'inégalité large pour 0, celui-ci n'étant pas définit dans le domaine d'étude x) !
    c bien ce que je dis " ce n'est pas le cas avc 0"

  35. #29
    Duke Alchemist

    Re : Le minimum d'une fonction

    Re-

    Si on te demande de le retrouver, à priori c'est le seul moyen à ta disposition...

    Maintenant, je ne suis pas sûr qu'on te demande de le déterminer... en tout cas, pas dans la première question.

    Duke.

  36. #30
    lamarie75

    Re : Le minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Re-

    Si on te demande de le retrouver, à priori c'est le seul moyen à ta disposition...

    Maintenant, je ne suis pas sûr qu'on te demande de le déterminer... en tout cas, pas dans la première question.

    Duke.
    euh bah je sais pas ce qu'il faut faire pour l'exercice 64 (le petit 2)
    Images attachées Images attachées

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