theoréme consernant Z/(p^n)Z

**essebaai** · 23/02/2013, 21h28

Bonjour
je voudrai savoir le nom de théorème qui dit:
l'ensemble des éléments inverssible dans Z/(p^n)Z est un groupe cyclique pour la loi multiplication.ou p et un nombre premier, n dans N*
si vous avez un lien ou un livre proposé pour trouver la demonstration de cette théorème;je vous pris de me le donner.
merci.

invite4842e1dc · 24/02/2013, 11h04

Salut

Lis l'article : http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_fini

**Seirios** · 24/02/2013, 11h21

Bonjour,

$\text{[math]}$ n'est pas un corps si $\text{[math]}$ . Cela dit, on peut montrer le groupe des inversibles est de cardinal $\text{[math]}$ (avec $\text{[math]}$ l'indicatrice d'Euler), et j'aurais tendance à dire que $\text{[math]}$ est un générateur de ce groupe pour $\text{[math]}$ (mais je ne l'ai pas vérifié).

invite4842e1dc · 24/02/2013, 11h54

Posons $\text{[math]}$

si $\text{[math]}$ a une structure de groupe pour la loi multiplication alors $\text{[math]}$ a une structure de corps

MAIS comme on a : $\text{[math]}$ est un corps si et seulement si $\text{[math]}$ est un nombre premier (théorème TRES CONNU)

l'ensemble $\text{[math]}$ ne peut avoir une structure de groupe pour la loi multiplication

ps)
Pour tout nombre $\text{[math]}$ premier et pour nombre $\text{[math]}$ IN*- {1} : le nombre $\text{[math]}$ n'est pas un nombre premier...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 24/02/2013, 12h15

On ne considère pas $\text{[math]}$ muni du produit (qui n'est effectivement pas un groupe), mais l'ensemble des éléments inversibles de $\text{[math]}$ muni du produit (qui est bien un groupe).

Cela dit, une remarque sur ce passage :

si $\text{[math]}$ a une structure de groupe pour la loi multiplication alors $\text{[math]}$ a une structure de corps

$\text{[math]}$ n'est jamais un groupe pour la multiplication (sauf si $\text{[math]}$ ), puisque $\text{[math]}$ n'a pas d'inverse.

**0577** · 24/02/2013, 18h12

Bonjour,

Le résultat énoncé n'est pas tout à fait exact.
Soient p un nombre premier et n un entier strictement positif. On considère $\text{[math]}$
muni du produit et on s'intéresse à l'ensemble $\text{[math]}$
des éléments inversibles qui est naturellement un groupe pour le produit.
Si p est différent de 2, alors $\text{[math]}$ est cyclique.
Si p=2, $\text{[math]}$ est cyclique pour n=1 et 2 mais pas pour n>2, dans ce cas
$\text{[math]}$

Ce résultat est par exemple démontré dans le "Cours d'algèbre" de Daniel Perrin.

**Seirios** · 26/02/2013, 16h22

Pour plus détails, on peut également regarder ici : Multiplicative group of integers modulo n.

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