Propagation des erreurs standards

[invitefd009729]

Bonjour à tous,

Travaillant actuellement sur un TP de Master, j'ai une question concernant la propagation des erreurs statistiques. Voila les détails du problème :

Je souhaite mesurer la vitesse de propagation racinaire d'une plante, pour cela des mesures ont été réalisées toute les 24h sur 4 racines disposées dans un milieu de culture et une moyenne de la taille racinaire à été obtenue ainsi que des erreurs standards associée.

Afin de mesurer la vitesse je soustrait la moyenne des mesures obtenue 24h plus tard (exemple pour 48h : je soustrait la moyenne de la longueurs racinaire obtenu à 48h de celle obtenue à 24h). J'obtiens donc la quantité de racine néo synthétisé en 24h.

Ma question est donc comment se comporte les erreurs standards lors d'une soustraction de moyenne afin que je puisse les indiquer sur le graphique obtenue. Dans un premier temps je les aurait soustrait (comme les moyennes) mais certaines erreurs standards arrive à 0 donc je pense que c'est un peu plus compliqué que cela.

Merci de vos réponses
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[gg0]

Bonjour.

Calcul classique d'incertitude :
Si l'erreur sur x est dx avec |dx|<a, Si l'erreur sur y est dy avec |dy|<b, alors l'erreur sur x-y est dx-dy avec |dx-dy|< ???

Dans certaines situations on peut faire mieux. ici, il me semble que c'est le cas. Plutôt que de soustraire les moyennes, calculer les 4 vitesses et en faire la moyenne (où la période de temps étant la même, calculer la moyenne des différences de tailles).

Cordialement.

NB : La précision sur une moyenne de 4 est extrêmement faible, sauf si on a un modèle de répartition des valeurs.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je reformule votre question pour être sûr d'avoir compris et qu'on parle bien de la même chose.
Vous faites un certain nombre de mesures. Chaque mesure est entachée d'une erreur accidentelle dont vous connaissez la valeur. En d'autres termes, cela peut être assimilé à la précision de la mesure. Vous avez N mesures et vous voulez connaitre la précision résultante.
Si e est l'erreur sur une mesure, alors l'erreur sur ce cumul des mesures est = e racine(N), pour l'erreur sur la moyenne de N mesures, ce sera = e / racine(N)
L'expression mathématique de cela se dit "les erreurs accidentelles se combinent quadratiquement".

[invitefd009729]

Merci à tous les deux de vos réponses, je vais apporter quelque précisions.

Concernant ce TP nous avons 4 graines ayant germées donnant un système racinaire contenue dans une boîte de culture et nous avions 4 boîtes par traitements (six en tout).

Afin de mesurer le système racinaire nous avons utilisé un système de calque sur lequel nous tracions le système racinaire, grâce à un logiciel d'acquisition nous avons pût mesurer la taille du système racinaire. Cependant aucun suivit n'a été fait en particulier sur une racine, mais plutôt un pool de racine du même traitement, je ne peut pas donc dire que la racine 1 contenue dans la boîte 1 du traitement 1 à 24h est bien la même dans mon tableur que la racine supposée 1 du traitement 1 à 48h, car lors de l'acquisition je ne peut pas savoir si l'acquisition de la racine 4 ne c'est pas fait avant la première.

Dlzlogic :étant donné que les erreurs standards ne sont pas les même pour chaque moyenne calculée je ne sais pas si je peux appliquer cette méthode.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Alors tu es ramené au calcul d'erreur dont je parlais. Sauf si tu as un modèle de la dispersion des valeurs. Ce qui est délicat ici, c'est qu'on ne peut pas utiliser les méthodes qui supposent l'indépendance des données (ce que suppose la méthode de Dlzlogic) car il y a une dépendance évidente.

Cordialement.

[leon1789]

Et si on faisait un peu de calcul pour essayer de clarifier tout ça ?... Il est très souvent plus simple de manipuler la variance (because sans racine carrée !), le reste (écart-type, erreur standard) s'en déduit facilement.

Soit x1,..x4 les mesures du premier jour, m1 leur moyenne et v1 leur variance ;
et y1,...y4 les mesures du second jour, m2 leur moyenne et v2 leur variance.

Enfin, considérons la différence des moyennes m2-m1 = ( (y1-x1) + ... + (y4-x4) ) /4, c'est-à-dire la moyenne des différences.

Si je comprends bien, la question posée revient à connaitre le lien entre les variances v1 et v2 et la variance V des différences (différences = accroissements que l'on ne connait pas individuellement).
C'est "simple" (et je ne détaille pas les calculs), on a :

V = v1 + v2 - 2. COV

où COV = ( (x1-m1)(y1-m2) + ... + (x4-m1)(y4-m2) ) /4

Ainsi on voit que les variances s'ajoutent, certes, mais qu'il faut tenir compte a priori d'un autre terme COV (qui reste inconnu vu la description de l'expérience).

Le problème revient à dire maintenant quelque chose sur COV...

Comme l'a signalé ggo et ne l'a pas dit dlzlogic, si les mesures xi et yi sont des données variables aléatoires indépendantes, alors l'espérance de COV est nulle.

Mais sans hypothèse probabiliste, on peut aussi essayer d'encadrer COV : par exemple, | COV | < max |xi - m1| . max |yi - m2|

[Dlzlogic]

Je vais essayer d'être plus précis.
Si j'ai bien compris, cous avez 4 bacs contenant chacune 6 plantes.
Au bout de 24h, vous avez 4 résultats, 1 pour chaque bac.
Au bout de 48h, vous avez 4 résultats, 1 pour chaque bac.
etc.
Comme vous cherchez à savoir comment se "propagent les erreurs standard", que je traduis par "combinent les erreurs accidentelles", je vous explique comment ça se calcule.
Si vous avez 4 mesures d'une même chose dans le but de connaitre la valeur la plus probable, alors, c'est la moyenne arithmétique des 4 valeurs.
Ensuite vous calculez l'écart moyen quadratique : c'est la racine carrée de la somme des écarts à ma moyenne, au carré divisée par 3 = (4-1).
Ca, on peut dire que c'est l'écart au bout de 24H.
Il faut de toute façon calculer l'écart-type de la mesure. On ne peut que supposer que les 4 bacs fonctionnent de la même façon.
Il faut déterminer l'écart-type d'une mesure, pour en déduire l'écart-type du résultat final.
Si par exemple, vous constatez une variation régulière de l'écart-type calculé, vous tenez compte de cette fonction dans vos calculs. Mais il est certain que les écarts accidentels, dus par exemple à l'imprécision de l'appareil de mesure, sont indépendants.
Par ailleurs, on ne peut pas éviter d'appliquer le principe d'indépendance des erreurs, puisqu'il s'agit de valeurs du second ordre.
Il est certain que si j'avais vos mesures sous les yeux, et si je savais le but exact de l'expérience, ce serait plus clair.
Enfin, s'il y a une interdépendance entre les données, ce serait important de le préciser, et surtout de modifier le mode opératoire afin de l'éviter.

[leon1789]

Comme vous cherchez à savoir comment se "propagent les erreurs standard", que je traduis par "combinent les erreurs accidentelles", je vous explique comment ça se calcule.
Si vous avez 4 mesures d'une même chose dans le but de connaitre la valeur la plus probable, alors, c'est la moyenne arithmétique des 4 valeurs.
(...) Mais il est certain que les écarts accidentels, dus par exemple à l'imprécision de l'appareil de mesure, sont indépendants.

A mon avis, les erreurs standards des données sont dues, non pas aux erreurs de mesures (même s'il y en a), mais aux croissances différentes des racines.
Quand on compare Mimie Mathy et Teddy Riner, la dispersion des mesures vient principalement de leurs croissances différentes et non des erreurs de mesures.

[Dlzlogic]

C'est assez rare, mais je vais répondre

V = v1 + v2 - 2. COV

Si j'ai bien compris, v1 et v2 sont les variances des expériences E1 et E2. Tu as montré ou supposé que COV est nul.
L'écart type, c'est à dire la valeur qui nous intéresse est la racine carré de la variance
Donc écart = racine(v1+v2)
Supposons, et c'est le cas présentement, que v=v1=v2, sinon on a des paramètres à rajouter.
écart = racine(2) . racine(v)
racine(v) = écart-type sur une mesure = e
écart = e racine(2)
Tu viens de redémontrer la théorie des erreurs, telle qu'elle est admise par tout le monde, alors où est le problème ?
Par contre, tu as oublié un point très important, le calcul de la variance.

[leon1789]

Si j'ai bien compris, v1 et v2 sont les variances des expériences E1 et E2. Tu as montré ou supposé que COV est nul.

Pour établir V = v1 + v2 - 2.COV, je n'ai rien supposé sur COV
et je n'ai pas démontré qu'il est nul.

L'écart type, c'est à dire la valeur qui nous intéresse est la racine carré de la variance
Donc écart = racine(v1+v2)
Supposons, et c'est le cas présentement, que v=v1=v2, sinon on a des paramètres à rajouter.

Je ne vois pas pourquoi les variances du premier et second jour seraient les mêmes.

écart = racine(2) . racine(v)
racine(v) = écart-type sur une mesure = e
écart = e racine(2)
Tu viens de redémontrer la théorie des erreurs, telle qu'elle est admise par tout le monde, alors où est le problème ?

J'ai simplement réécris une formule classique (voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Varianc....C3.A9t.C3.A9s ).
Mais ici, COV n'a aucune raison d'être nul a priori et donc V n'est pas v1 + v2.

Par contre, tu as oublié un point très important, le calcul de la variance.

Le calcul de quelle variance ?

[invitefd009729]

Merci de vos réponses je pense que l'on s'approche de la solution du problème. En effet la différence de mesure ne provient pas d'une erreur de mesure (même s'il y en a du au mesure par le logiciel) mais bien à une différence de croissance des plantules.

On a 4 plantules par boîte et 4 boîtes par traitement, soit 16 mesures en tout par traitement. Pour mes calculs j'ai fait la somme 4 par 4 pour avoir la somme totale pour 4 racines (soit une boîte). J'obtiens 4 sommes par traitement et je fais ensuite la moyenne des 4 sommes obtenues afin de savoir la longueur totale moyenne pour 4 racines et les erreurs standards sont réalisées sur les 4 sommes précédemment calculées.

Les échantillons au sein d'une même boîte ne sont donc pas indépendant (puisqu'il repose sur le même milieu de culture) mais les échantillons sont indépendant entre boîte, les 4 sommes obtenues sont donc normalement indépendantes.

Afin de calculer la variance sa ne devrait pas de soucis avec Exel.

L’expérience consiste à mesurer l'impact de l'éthylène sur l'allongement racinaire des plantules, certaine sont traitées avec un inhibiteur ou un activateur de la voie de synthèse. L'ajout d'éthylène va diminuer l'élongation racinaire, donc en ajoutant un activateur de la voie de biosynthèse de l'éthylène on observe une vitesse de plus en plus ralentie plus la concentration en activateur est importante.

Je cherche justement à montrer une différence significative entre les traitements avec l'activateur (mais c'est mieux avec les erreurs standards sur le graphique), pour savoir aussi à partir de quel dose l'on constate un effet significatif puisque l'on à utilisé 3 doses d'activateur différentes.

[invitefd009729]

Je pense que Dlzlogic parle du calcul de la variance de chaque échantillon soit v1 et v2

[leon1789]

Rappel du calcul de la moyenne m1 et de la variance v1 des données statistiques x1, ...x4 :
m1 = (x1 + ... + x4) /4
v1 = ( (x1-m1)^2 + ... + (x4-m1)^2 ) / 4

http://www.bibmath.net/dico/index.ph...esperance.html

[leon1789]

Les échantillons au sein d'une même boîte ne sont donc pas indépendant (puisqu'il repose sur le même milieu de culture) mais les échantillons sont indépendant entre boîte, les 4 sommes obtenues sont donc normalement indépendantes.

xi représente la somme des longueurs des racines du pot n°i
yi représente la somme des longueurs des racines du pot n°i au jour suivant.

On peut considérer les données x1,...x4 comme indépendantes, les données y1,...y4 aussi, mais le problème ne réside pas là en fait.
Le problème est que les données xi, yi ne sont pas indépendantes car on mesure l'évolution d'un même milieu de culture : par exemple, on a nécessairement xi < yi , ce qui prouve la non-indépendance.

[leon1789]

Afin de mesurer le système racinaire nous avons utilisé un système de calque sur lequel nous tracions le système racinaire, grâce à un logiciel d'acquisition nous avons pût mesurer la taille du système racinaire. Cependant aucun suivit n'a été fait en particulier sur une racine, mais plutôt un pool de racine du même traitement, je ne peut pas donc dire que la racine 1 contenue dans la boîte 1 du traitement 1 à 24h est bien la même dans mon tableur que la racine supposée 1 du traitement 1 à 48h, car lors de l'acquisition je ne peut pas savoir si l'acquisition de la racine 4 ne c'est pas fait avant la première.

je comprends bien que les racines d'un même pot sont indistinguables, mais est-ce que les pots sont eux distingués par un numéro ?

[leon1789]

par exemple, on a nécessairement xi < yi , ce qui prouve la non-indépendance.

Ce n'est pas tellement xi < yi qui est important, mais xi-m1 et yi-m2 . En effet :
nous avons V = v1 + v2 - 2. COV avec COV = ( (x1-m1)(y1-m2) + ... + (x4-m1)(y4-m2) ) /4

Que peut-on dire que chaque (xi-m1)(yi-m2) ? Il parait peu probable que, la veille, une mesure xi soit très inférieure (respectivement supérieure) à la moyenne m1 et que, le lendemain, la mesure yi (le même pot) soit très supérieure (respectivement inférieure) à la moyenne m2 : autrement dit, le produit (xi-m1)(yi-m2) a, à mon avis, de forte chance d'être proche de 0 ou assez positif, mais jamais très négatif. Ainsi, COV = ( (x1-m1)(y1-m2) + ... + (x4-m1)(y4-m2) ) /4 est probablement positif. Et donc la variance V des différences yi-xi est probablement inférieure à v1 + v2.

Et comme je disais plus haut, on peut majorer COV par max|xi-m1|.max|yi-m2|.

On arriverait ainsi à v1+v2-2.max|xi-m1|.max|yi-m2| < V < v1+v2 .

[Dlzlogic]

Juste un mot pour préciser des termes que j'ai employés.
J'ai comparé l'erreur observée à ce que pourrait être une erreur de mesure, mais ce n'est qu'une comparaison.
Donc, je précise comment un calcule la moyenne de 4 observations et l'écart type obtenu.
Soit x1, x2, x3, x4 les observations
la moyenne M = (x1+x2+x3+x4)/4
l'écart type s=racine(Somme((xi-m)²)/3)
Composition quadratique des écart accidentelles.

Ce sont les méthodes et formules utilisées pour le calcul d'erreur. On peut les contredire, en réinventer, tout ce qu'on veut, mais dans l'état actuel des connaissances, pour tous les professionnels, c'est comme ça.

Je n'interviendrai plus sur ce sujet. (Sauf éventuellement pour répondre à une question précise).

[leon1789]

Tu n'es intervenu que pour parler de des erreurs accidentelles, et non du problème posé.
Oui Dlzillogic, tu es un grand professionnel... qui ne connaît toujours pas la différence entre une variance (...)/n et un estimateur de variance (...)/(n-1). Pourtant, ce n'est pas faute d'avoir essayé de t'expliquer...