Application linéaire

[invite3c416fbf]

Bonjour à tous, n'étant pas très à l'aise avec les questions type démonstrations, j'ai besoin de votre aide :

Soit E un espace vectoriel sur R et k un réel. On note L(k) = { f Є L(E) / fof = k.f }

/* L(E) étant une application linéaire de E dans E (endomorphisme), et fof : ' f rond f ' */

On suppose que k = 1, on étudie L(1) = { f Є L(E) / f0f = 0_L(E) }

1ère partie :

On considère deux applications f et g de L(1)
1) Montrer l'équivalence : ( gof = g ) équivaut à ( Ker(f) C Ker(g) )
2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur Im(f) et Im(g) pour que gof = f

2ème partie :

Soient f et g deux applications de L(1) telles que fog = gof
1) Montrer que fog appartient à L(1)
2) Prouver les égalités suivantes :
a. Im(fog) = Im(f) ⋂ Im(g)
b. Ker(fog) = Ker(f) + Ker(g)
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[invite3c416fbf]

Désolé petite correction : L(E) est l'ensemble des applications linéaires de E dans E.

[gg0]

Bonjour.

ça part mal :

L(k) = { f Є L(E) / fof = k.f }...
... on étudie L(1) = { f Є L(E) / f0f = 0_L(E) }

Si tu as un énoncé cohérent, dis-le nous.

[invite3c416fbf]

Exact...Désolé c'est :
on étudie L(1) = { f Є L(E) / f0f = f }

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9b9018b]

Bonjour,

Avez vous étudié les projecteurs ?
En attendant, pour la première question, on doit pouvoir le montrer par double implication, dont une est "triviale".

A+

[invite3c416fbf]

Merci pour la 1)
Sinon oui nous avons vu les projecteurs.