Fonctions homogènes, fonctions à plusieurs variables

[invite248d9253]

Bonjour,

j'ai quelques questions sur les maths (analyse) de L2.
Tout d'abord, dans mes td mon prof utilise souvent le fait que la fonction est homogène de degré 0 , hors j'ai beau regardé la définition f(tx) = (t^a).f(x)
mais je ne comprends pas :
|x|* ( (x*y²) / (x²+y²)^3/2) => en quoi cette fonction est homogène de degré 0?
pareil pour (-xy²+yx²)/(x²+y²)^3/2 => " " " " "

et sinon avez vous des astuces/ méthode pour étudier la continuité d'une fonction de la forme f(x,y) ?
car en regardant le cours et les TD, c'est assez aléatoire: coordonnées polaires, changement de variable, ...

merci d'avance bonne journée
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[Médiat]

Bonjour,

je ne comprends pas :
|x|* ( (x*y²) / (x²+y²)^3/2) => en quoi cette fonction est homogène de degré 0?

Moi non plus, puisque f(tx, ty)=tf(x, y), donc elle serait homogène de degré 1.

pareil pour (-xy²+yx²)/(x²+y²)^3/2 => " " " " "

Quant à celle là, elle vérifie f(tx, ty) = (t/|t|)f(x, y), donc, n'est pas homogène.

[inviteea028771]

C'est peut être "en norme" (même si pour la première c'est effectivement de degré 1):

|| (-(tx)(ty)²+(ty)(tx)²)/((tx)²+(ty²)^3/2 || \sim || (-xy²+yx²)/(x²+y²)^3/2||

[invite14e03d2a]

Parfois, dans la définition de fonction homogène, on ne considère que des t>0. La deuxième fonction serait donc homogène en ce sens.

Pour répondre à la deuxième question, pas de méthode générale pour la continuité (comme pour les fonctions d'une variable). Cependant, si la fonction est homogène, passer en coordonnées polaires permet de déterminer la continuité ou non en 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite248d9253]

merci pour vos réponses,

mais désolé c'est toujours pas clair pour moi l'homogénéité de degré 0 ...

sinon je bloque un peu sur les exercices :

trouver les a >0 , b >0 tq f : R²-> R soit continue en (0,0) :
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par exemple pour la deuxième , le résultat est ce que c'est pour tout 4>a>0 et 2>b>0 ??

par contre la première j'ai pas trop d'idée, est ce que en faisant le DL de sin x en 0 ça marche?
merci d'avance