Tr(A^2)

[Flav78]

Bonjour

Dans un exercice, mon professeur a utilisé la formule Tr(A^2)=Tr(A*tA).

Ce formule est-elle correcte ? Si oui, auriez vous une démonstration ?

Par avance, merci
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[Seirios]

Bonjour,

Non, l'égalité n'est pas vérifiée de manière générale : prendre par exemple . Dans la démonstration, A n'était-elle pas symétrique ?

[Flav78]

Eh bien en fait c'est dans un exercice de diagonalisation, pour trouver les vecteurs propres quand on en connait déjà. Du coup ça marche parce que je sais déjà que ma matrice est semblable à une matrice diagonale ?

[Seirios]

À première vue, je ne vois pas pourquoi ce serait le cas. Tu ne pourrais donner un peu plus de précision sur l'exercice en question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[toothpick-charlie]

il me semble que ça marche si A est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage orthogonale

[Seirios]

Auquel cas A est symétrique, donc...

[toothpick-charlie]

ah oui, je ne me souvenais plus si c'était une cns.

pour une matrice 2x2, si je la note
| a b |
| b+x c | = A

alors Tr(A^2) = a^2+c^2+2b(b+x)
et Tr(A * tA) = a^2+c^2+b^2+(b+x)^2
donc la différence est x^2
et donc les traces sont égales ssi A est symétrique.
(auquel cas l'égalité est triviale et on ne voit pas ce qu'elle apporte dans la démonstration)