Bonjour,
Est- ce que le triplet: ensemble des transformations affines munie des lois + et o a une structure d'anneau?
Par ailleurs, en terme de vocabulaire est ce que transformation affine est le synonyme d'endomorphisme affine.
Ou les transformations affines vérifient quel que chose de plus?
cordialement,
Bonjour.
Tu peux examiner toi-même la première question. C'est un exercice classique de savoir si une structure est un anneau.
Pour la deuxième question, il y a un problème, car "endomorphisme" parle d'espace vectoriel, et "transformation affine" non. En particulier, il n'y a aucune raison qu'une transformation affine soit linéaire (*).
Cordialement.
(*) en tant qu'application de l'espace vectoriel sous-jacent.
Bonjour,
Pour la bonne compréhension, je pense qu'il serait bon de préciser la définition de "transformation affine".
Pour moi (ie dans mon vocabulaire) il n'y en a qu'une seule, aux paramètres près naturellement.
L'article de Wiki ne m'a pas expliqué grand-chose.
Est-ce que je dois comprendre "il n'y a aucune raison qu'une transformation affine soit linéaire" comme "parce qu'elle ne comporte pas d'élément neutre" ?
Merci d'avance.
Soit E un espace affine, et VE l'espace vectoriel sous-jacent. Une transformation de E est une bijection de E dans lui même. C'est dans ce sens que je comprends le mot "transformation affine".
Si v est un élément de E, l'application de E dans E qui à x associe x+v est une transformation affine(*), mais n'est linéaire que si v est 0E.
Cordialement.
(*) c'est une translation.
Oui, alors nous sommes d'accord, mais pour une meilleure compréhension, et je ne pense pas que c'est une simplification, je crois qu'on peut dire qu'une transformation affine est la combinaison d'une translation, d'une rotation, d'une homothétie et d'une affinité. Dans l'espace 3D, cela s'écrit
X = TX + XX.x + XY.y + XZ.z
Y = TY + YX.x + YY.y + YZ.z
Z = TZ + ZX.x + ZY.y + ZZ.z
soit 12 paramètres.
Elle est très utilisée sous cette forme.
Je ne vois pas ce qu'il y a de plus simple à mettre 12 paramètres et traiter un cas particulier de dimension 3 seulement.
La définition d'une application affine est claire (dans wikipédia par exemple) : pour se donner une application affine, on fixe deux points O et O' dans les espaces affines et une application linéaire f entre les espaces vectoriels associés. Ensuite l'image d'un point M est donnée par O' + f(vecteur OM) .
Dernière modification par leon1789 ; 16/03/2013 à 16h42.
Bonjour Léon,
Je ne dis pas que c'est plus simple, j'ai dit que j'espérais que ce n'était pas une définition simplificatrice.
Le cas particulier en 3D offre l'intérêt d'être applicable au monde réel, d'ailleurs le seul que je connaisse.
Il m'a paru important de préciser qu'il y a 12 paramètres, parce que pour la définir, il faut 4 points en x,y et z.
Il est vrai que si on décide que le coefficient d'affinité est 1, alors 3 points pourraient suffire.
Cependant des calculs m'ont montré que les résultats obtenus avec les formules de similitudes en 3D donnaient des résultats peu satisfaisants.
Par contre, si on ne dispose que de 3 points, on en crée un 4ème pour construire un tétraèdre non plat, et on obtient un résultat satisfaisant.
Etant bien entendu que, dans la pratique, la transformation affine 2D se calcule avec au moins 6 points, et 3D, au moins 10 points.
Considérant que cette transformation est très utilisée, il m'a paru intéressant d'en montrer les détails.
Tu sais que suis très terre à terre et que seule l'utilisation des maths m'intéresse et me concerne.
Ok.
Cela dit, il n'y a pas que la 3D qui s'applique au monde réel : les mathématiques développent des théories en dimension quelconque (1,2,3,4,5, etc. dimension finie ou pas), et cela s'applique tout aussi bien. Et il n'y a pas qu'en géométrie qu'on utilise concrètement les espaces affines.
Pour moi, les maths sont intéressantes non seulement dans leurs applications (concrètes), mais aussi dans la théorisation (abstraite) qu'elle permettent : en mathématiques, il y a un va-et-vient essentiel entre le développement théorique et les applications (certes, toutes les théories ne s'appliquent pas du jour au lendemain).
Oui, nous sommes parfaitement d'accord, mais il se trouve que cette utilisation de la transformation affine est très courante depuis l'arrivée de l'outil informatique et des GPS, et apparemment mal connue.
cf article complètement faux chez WikiMachin.
Je profitais simplement de ce topic pour rappeler des notions qui me paraissent importantes, et dans le domaine que je connais.
Je dirais au risque de faire rire : "La transformation affine s'utilise aussi en 2D et en 3D".
quel article ?Envoyé par Dlzlogic
Il s'agit de celui-là. http://www.wikipedia.org/wiki/World_file Et il existe aussi en français.
Je l'ai pas regardé depuis longtemps, mais première vue, le graphisme a un peu changé, mais pas le fond.
Petite anecdote : il existait (ou existe) aussi en français, et il ne disaient pas la même-chose. Un jour, j'ai vu un article dans une newsletter spécialité, ou un lecteur disait "enfin les 2 articles disent le même chose".
Quand je l'ai consulté, à la lecture, je me suis dit "zut, je me plante", ça m'a fait perdre 3 semaines.
Je ne continuerai pas sur ce sujet. Que tu me croies ou pas n'a aucune importance.
