Espaces normés

[dalfred]

Bonjour,

Je rencontre une difficulté dans le début de l'exo qui suit :

Exemple d'une suite bornée de n'ayant pas de valeur d'adhérence :
On munit l'espace vectoriel de la norme:



1)Vérifiez que c'est bien une norme sur

La première condition se montre : si alors d'où

La deuxième :


La troisième je bloque :je vois pas ce que l'on doit vérifier, est-ce : ?

Merci au revoir.
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[Tryss]

Heu, pour la rédaction du deuxième, c'est vraiment pas terrible.

Et pour la troisième, tu dois vérifier que si tu as deux polynômes P(X) et Q(X) , tu as ||(P+Q)(X)|| < ||P(X)||+||Q(X)||, et pas l'espèce de truc qui montre que tu n'as pas compris les objets que tu manipules ^^

[dalfred]

Ok, donc à la place, est ce que cela est bon ?










Ensuite si je veux montrer que la suite ai je le droit de dire qu'elle est majorée lorsque tend vers l'infini soit par ?

[Tryss]

Pour l'inégalité triangulaire, oui, c'est bon comme ça.

Pour montrer que la suite X^n est majorée, il suffit de calculer la norme de chaque élément (ce qui n'est pas très difficile).

[A voir en vidéo sur Futura]

[dalfred]

Sauf que par exemple pour le premier terme ca donnera , cependant pour ca sera et là je ne vois pas puisque je n'ai pas le droit de dire que ca norme vaut car cela n'est valable que lorsque n tend vers l'infini non ? (c'est à dire : ||a...||=max(...))

[Tryss]

Sauf que par exemple pour le premier terme ca donnera , cependant pour ca sera et là je ne vois pas puisque je n'ai pas le droit de dire que ca norme vaut car cela n'est valable que lorsque n tend vers l'infini non ? (c'est à dire : ||a...||=max(...))

Bah si , alors

Donc


La norme ici c'est la valeur du plus grand coefficient (en valeur absolue), et un polynôme du type X^n a pour plus grand coefficient 1 (au rang n)

[dalfred]

Dois je utiliser le fait que ?

[dalfred]

Donc si sa norme vaut 1 aussi ?

[Tryss]

Oui, puisque X² = 0+0*X+1*X²+0*X^3+0*X^4

[dalfred]

Dans ce cas je ne vois pas comment rédiger, dois je seulement dire que la suite est majorée par et minorée pas 0

[dalfred]

Ce qui me gene c'est le symbole dans l'égalité, a-t-on toujours ou peut on avoir simplement un nombre ?

[Tryss]

Le infini c'est juste une notation pour signaler quelle norme on utilise !

Pour rédiger, il suffit de dire :

Pour , alors

Donc tout les éléments de la suite sont de norme 1 (la suite est donc bien majorée)


Mais j'ai l'impression que tu ne comprends pas ce qu'est cette norme.

Quelle est la valeur de ?

[dalfred]

C'est cinq

[dalfred]

Mais pourquoi le max serait 1, puisque la norme est définie comme étant la suivante : ||a_pX^p+...+a_1X+a_0||_{\inft %20%20} donc la norme ici est par exemple le max des coefficients et les coefficients ne valent pas que 0 ou 1

[Tryss]

Mais pourquoi le max serait 1, puisque la norme est définie comme étant la suivante : ||a_pX^p+...+a_1X+a_0||_{\inft %20%20} donc la norme ici est par exemple le max des coefficients et les coefficients ne valent pas que 0 ou 1

Ah, il y a d'autres coefficients que 0 et 1 au polynôme X^n ?

Je te rappelle que ce qui t’intéresse ici, c'est les polynômes de la forme X^n (les éléments de ta suite)

[dalfred]

ca veut dire alors que la norme vaut tout le temps 1 et que la suite est constante

[dalfred]

Mais si la suite est constante alors la suite de R[X] a une valeur d'adhérence non ?

[Tryss]

Mais si la suite est constante alors la suite de R[X] a une valeur d'adhérence non ?

Non, la suite n'est pas constante, 1 est différent de X, qui sont eux même différents de X², qui sont eux même différents de X^3, etc...

D'ailleurs tu peux calculer la distance entre deux éléments de la suite. Tu verra que pour i différent de j, ||X^i-X^j|| est différent de 0


C'est un exemple de suite d'éléments de norme 1, qui n'a pas de valeur d'adhérence. C'est du au fait que l'espace est de dimension infini (c'est d'ailleurs une caractérisation des espaces de dimension infinie)

[dalfred]

Pourtant on a bien montré que la suite était bornée, majorée par 1 et minorée par 1 ?
Ensuite pour calculer la distance entre deux polynomes, dois je utiliser la definition de la norme de cet exo ?
Si c'est la cas ca fera 1

[Tryss]

[QUOTE=dalfred;4431291]Pourtant on a bien montré que la suite était bornée, majorée par 1 et minorée par 1 ?[QUOTE]

Tu as montré que la norme des éléments était constante, pas que la suite était constante.

Par exemple dans les complexes (cas plus simple), les sont tous de norme 1, mais la suite de ces nombres n'est pas constante.

Dans les espaces vectoriels normés, "être borné" veut dire qu'il existe R tel que la boule de rayon R contienne tout les éléments

Ensuite pour calculer la distance entre deux polynomes, dois je utiliser la definition de la norme de cet exo ?
Si c'est la cas ca fera 1

Oui, c'est ça.

Et ça montre que la suite n'a pas de valeur d'adhérence
Si la suite avait une valeur d'adhérence, on pourrait trouver deux éléments aussi proches que l'on souhaite l'un de l'autre. Or ici, tout les éléments éléments de la suite sont à distance 1 des uns des autres