Espaces normés

[invite204ee98d]

Bonjour,

J'ai du mal à commencer pour prouver les inégalités suivantes :

on doit montrer ll x llll x llll x ll ll x ll ll x ll


ll ll symbolise norme (première fois que je tente de coder donc c'est loin d'etre parfait)



Merci de me donner des pistes, au revoir
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[Seirios]

ll ll symbolise norme (première fois que je tente de coder donc c'est loin d'etre parfait)

Pour que ce soit plus joli, écris plutôt ||x||_{\infty} \leq ||x||_2 \leq ||x||_1 \leq \sqrt{n} ||x||_2 \leq n ||x||_{\infty} entre balises TEX ; cela donne .

[Seirios]

Sinon, pour ton exercice, quelles inégalités as-tu réussi à montrer pour l'instant ? Pour , tu peux appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwartz ; pour , tu peux penser à la formule du binôme de Newton.

[invite204ee98d]

Dans l'inégalité de Cauchy il y a deux variables, et là non il n'y a que , on ne peut pas l'appliquer

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il suffit d'écrire ... Les théorèmes que tu apprends ne s'appliquent pas nécessairement tel quel.

[invite204ee98d]

Pour appliquer le binome de Newton logiquement il faudrait transformer sous forme de polynomes pour les comparer sauf que la ce n'est pas possible de les transformer en polynomes, nest ce pas ?

A moins que je reve...

[Seirios]

En fait, je me suis un peu emballé, il ne s'agit pas du binôme de Newton mais d'un simple développement : l'inégalité est équivalente à ; en développant le membre de droite, tu verras que l'inégalité est immédiate.

[invite204ee98d]

Il n'y a rien à developper dans , du moins dans le membre de droite, c'est juste au carré

[invite204ee98d]

Y'a d'identité remarquable

[Seirios]

est un produit de deux sommes ; il peut donc être développé. Tu verras que dans les termes qui apparaissent, tu pourras isoler et déduire l'inégalité.

[invite204ee98d]

Pour moi

[Seirios]

Tout à fait.

[invite204ee98d]

Ok donc pour celle ci c'est bon, pour je dis simplement que des termes positifs au carré donc si je mets une racine ca marche ensuite.


En revanche pour la dernière inégalité je ne peux pas faire ca meme si on serait tentés : -pour

[invite204ee98d]

En fait c'est bon j'ai trouvé

[invite204ee98d]

En fait c'est bon j'ai trouvé, mais la prochaine question me demande de montrer que les trois normes usuelles sont equivalentes mais nous n'avons pas encore fait le cours, mais si j'ai bien compris sur wikipedia par exemple il suffit que [TEX]ll x ll_1[\TEX] soit encadrée par [TEX]ll x ll_2[\TEX] pour montrer qu elles sont equivalentes.

Ici ca serait simplement parce que [TEX]1 \times ll x ll_2 \leq ll x ll_1 \leq \sqrt{n} \times ll x ll_2[\TEX] avec 1 et racine de n strictement positifs

N'ai je pas oublié de conditions ?

[invite204ee98d]

Les balises TEX ne marchent pas je ne sais pas pourquoi

[Seirios]

La deuxième balise est [/TEX], tu as écrit [\TEX].

Sinon, l'équivalence des trois normes est effectivement une conséquence directe des inégalités, il suffit de lire.

[invite204ee98d]

D'accord merci.