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exo : espaces vectoriels normés



  1. #1
    harry-potter

    exo : espaces vectoriels normés


    ------

    salut les amis ;
    je suis en train de faire un exercice sur les normes et je suis bloqué sur une question.

    en fait, soit et pour tout élément de on définit les applicatios suivantes :





    bon , ce n'est pas trop difficile de montrer que ces applications sont des normes sur E.
    mais je ne sais pas comment comencer pour montrer que :
    pour tout élément de , on a :



    merci de me donner quelques idées.

    à propos de la norme ; peut-on parler de normes pour les suites ?
    et merci.

    -----

  2. #2
    harry-potter

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    salut ;
    j'ai déjà pensé à tous ; mais sans aucun résultat :
    taylor-lagrange sur[0,1] ; taylor-integral ne me donnent rien

    même ; j'ai déjà pensé à utiliser " Sup "et " Inf " pour encadrer et , mais sans succes encore.
    un petit indice pour y pervenir s'il vous plaît...
    merci

  3. #3
    Flyingsquirrel

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Salut,

    En partant de (pour ) on peut obtenir une majoration de puis en déduire l'inégalité .

  4. #4
    harry-potter

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    salut ;

    c'est un très bon astuce d'écrire de cette manière :



    de toute façon , notre but est de majorer :

    d'où


    comme est continue (puisque est continue ) alors :
    en intégrant ; pour tout x dans [0,1] , on aura :

    à ce moment précis ; qu'est-ce qu'il faut faire en général pour en sortir de cette double integrale ?
    merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par harry-potter Voir le message
    qu'est-ce qu'il faut faire en général pour en sortir de cette double integrale ?
    On peut éviter cette double intégrale en majorant par une quantité indépendante de plutôt que par . L'intégrale sur du majorant sera alors simplement

  7. #6
    harry-potter

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    voilà ce que j'ai fait , mais je ne suis pas sûr qu'il est correct :
    le problème consiste à encadrer

    en fait :

    d'où:

    or
    por tout x dans [0,1]

    avec :
    finalement :

    et on montre ainsi la pemière inégalité :

  8. #7
    harry-potter

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    On peut éviter cette double intégrale en majorant par une quantité indépendante de plutôt que par . L'intégrale sur du majorant sera alors simplement
    s'il vous plaît , peut-tu m'éclaircir en travaillant un peu plus sur cet exemple .
    et merci.

  9. #8
    Flyingsquirrel

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par harry-potter Voir le message
    s'il vous plaît , peut-tu m'éclaircir en travaillant un peu plus sur cet exemple .
    et merci.
    On a
    (La troisième inégalité est vraie car pour tout .)

    Si maintenant on intègre par rapport à sur on obtient
    c'est-à-dire .

  10. #9
    harry-potter

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    On a
    (La troisième inégalité est vraie car pour tout .)

    Si maintenant on intègre par rapport à sur on obtient
    c'est-à-dire .
    vraiment , c'est très interéssant comme astuce cette majoration .
    on peut dire alors que la première égalité est finie.
    mais , avant de commencer la 2 ème , je veux savoir si la méthode que j'ai déjà écrit est juste ou pas.
    merci

  11. #10
    harry-potter

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    salut ;
    enfin ; grâce à ces precieux indications , on a montré que :



    et je doit maintenant montrer que ces normes sont deux à deux non équivalentes.

    pour le faire ; j'ai entendu parler de choisir une bonne expression de f.
    mais , je ne sais pas comment la choisir ?

    je me demande en plus s'il y a d'autres méthodes plus fines pour le faire.

    et merci

  12. #11
    Arias

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Harry Potter ... ce qu'a écrit Flyingsquirrel n'est pas du tout une astuce. C'est simplement le théorème fondamental de l'intégration... Si pour toi
    c'est une astuce dépêche toi de l'apprendre ...
    En fait avant de faire des exos apprends ton cours . Tu ne connais pas la définition de l'équivalence de deux normes ?

  13. #12
    Flyingsquirrel

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par harry-potter Voir le message
    mais , avant de commencer la 2 ème , je veux savoir si la méthode que j'ai déjà écrit est juste ou pas.
    Citation Envoyé par harry-potter Voir le message

    d'où:
    Tu n'as pas le droit de dire que . Par contre il est vrai qu'il existe un tel que (c'est le théorème des accroissements finis qui nous le dit) mais je ne vois pas ce que l'on pourrait en tirer d'intéressant.

  14. #13
    harry-potter

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Tu n'as pas le droit de dire que . Par contre il est vrai qu'il existe un tel que (c'est le théorème des accroissements finis qui nous le dit) mais je ne vois pas ce que l'on pourrait en tirer d'intéressant.

    oui ,oui , c'est vrai
    comment je l'ai perdu :


    bon , pour la non équivalence , per quelles méthodes je peux le faire ?

    ( la recherche d'une fonction f comme un contre exemple n'est pas intéressante ? )

    et merci

  15. #14
    Flyingsquirrel

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par harry-potter Voir le message
    bon , pour la non équivalence , per quelles méthodes je peux le faire ?
    Il suffit de trouver un contre-exemple...

    Edit : Et merci d'éviter de me demander de répondre à ce fil (ou à n'importe quel autre d'ailleurs) par MP.

  16. #15
    Flyingsquirrel

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Mon dernier message est pour le moins laconique... Par contre-exemple j'entends une suite de fonctions tel que le rapport tende vers 0 où l'infini quand tend vers l'infini.

  17. #16
    harry-potter

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Il suffit de trouver un contre-exemple...

    Edit : Et merci d'éviter de me demander de répondre à ce fil (ou à n'importe quel autre d'ailleurs) par MP.
    salut Flyingsquirrel ,

    désolé si je t'ai dérangé par le MP , mais comme je te l'ai dit , je veux travailler le plus dans ce weekend ; et bien évidemment ; en résolvant tous les problèmes qui ont tombé à ma main et non pas s'arrêter à lire les énoncés
    franchement , nous n'avons pas encore terminé le cours à la classe , et comme tu es à ce moment là , navigant sur le forum , je veux qui tu me donnes des simples indications ( comme le fait un prof ) pour parvenir à résoudre l'exercice et faire un autre
    pour ce qui concerne les méthodes , je veux savoir pour un tel et tel question , quels sont les méthodes possibles que je peux le travailler avec , puisque je suis certain que tu as nécessairement passé par ce chapitre et tu connais donc ces astuces.
    revenons alors à la dernière question :

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Mon dernier message est pour le moins laconique... Par contre-exemple j'entends une suite de fonctions tel que le rapport tende vers 0 où l'infini quand tend vers l'infini.
    je fait comme tu m'a conseillé et j'ai trouvé un contre exemple en prenant avec

    on a alors :



    d'où


    et de même pour et en prenant la même expression de
    je ne sais pas s'il y a une méthodes bien précise pour choisir et comme tu vois je prends mon temps pour la trouver et ce n'est pas pratique de tout au cours d'un examen.
    désolé une autre fois et sincèrement , merci pour tous.

  18. #17
    Flyingsquirrel

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par harry-potter Voir le message
    je ne sais pas s'il y a une méthodes bien précise pour choisir et comme tu vois je prends mon temps pour la trouver et ce n'est pas pratique de tout au cours d'un examen.
    Oui mais je ne pense pas qu'il y ait de méthode miracle. Pour simplifier les choses on peut remarquer que comme
    pour que il suffit que soit constant et non nul et que . Cela est intéressant car si une fonction vérifie ces conditions alors quelque soit la valeur de . En utilisant ces critères j'ai trouvé comme contre-exemple la suite de fonctions définie par .

  19. #18
    harry-potter

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Oui mais je ne pense pas qu'il y ait de méthode miracle. Pour simplifier les choses on peut remarquer que comme
    pour que il suffit que soit constant et non nul et que . Cela est intéressant car si une fonction vérifie ces conditions alors quelque soit la valeur de . En utilisant ces critères j'ai trouvé comme contre-exemple la suite de fonctions définie par .
    sincèrement , tu m'as appris beaucoup des choses à travers cet exercice.
    merci pour tout
    une question qui a passé tout à l'heure devant mes yeux, et je ne sais pas si j'avais le droit de le poser:
    à propos de la norme ; peut-on parler de normes pour les suites ?
    qu'en penses-tu?
    merci

  20. #19
    Flyingsquirrel

    Re : exo : espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par harry-potter Voir le message
    peut-on parler de normes pour les suites ?
    Oui, on peut. Par exemple l'application définie par sur l'espace vectoriel des suites de nombres complexes de limite nulle est une norme (et muni de cette norme est même complet).

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