espaces vectoriels

[invite8e610af2]

slt tout le monde
J'ai un DM a rendre bientot et je bloque un peu sur sertains points alor si vous pouvez m'aider...
l'exo:
Soit E le R-espace vectoriel des fonctions de R dans R.Soient F l'ensemble des fct paires et G selui des fct impaires de R dans R.
1)Montrer que F et G sont des sous-ev de E
2)Montrer que E est somme directe de F et G
3)Etant donné un reel x,on designe par Fx la partie des fct qui s'annulent en x,Montrer que si a et b sont deux reels distincts alors E=Fa + Fb mais que cette somme n'est pas directe
4)Trouver un supplementaire de Fa.
voila si vous pouvez m'aider un peu ca serait cool(surtout pur les questions 3 et4)
merci
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[invite642cafc1]

Pour la 3)
il faut montrer que toute fonction f de R dans R peut s'écrire comme la somme de deux fonctions f_a et f_b avec f_a s'annulant en a et f_b s'annulant en b. Ces conditions permettent de fixer f_a(a), f_b(b), f_a(b), f_b(a). Il suffit ensuite de fixer f_a(x) et f_b(x) de telle manière que f_a(x)+f_b(x)=f(x), sans autre condition donc plusieurs choix possibles il suffit d'opter pour l'un d'eux.
Le fait que Fa et Fb ne sont pas en somme directe est le fait que leur intersection n'est pas réduit à la fonction nulle. Bref il faut exhiber une fonction qui s'annule en a et en b mais qui n'est pas nulle partout.

Pour la 4),
la question 3) cherche à mettre sur la piste. On a Fa+Fb=E mais leur intersection n'est pas réduite à la fonction nulle. On peut donc chercher un sous-espace vectoriel G plus petit que Fb.
Il faut que toute fonction f puisse s'écrire comme somme d'une fonction de Fa et G : f=f_a+g. Maintenant, on peut essayer de prendre pour g la fonction la plus "simple" possible.

[invite8e610af2]

merci pour ton aide, mais un peu plus d'explications ne serait pas de refus(c'est mon premier exo de ce genre alor je doit surement paraitre un peu idiotte) enfin je crois que fa(a)=0 , fb(b)=0 , on fixe fa(b)=f(b) et fb(a)=f(a) mais pour fixer fa(x) et fb(x)??? j'ai pensé a fa(x)=f(x)-fb(x) et fb(x)=f(x)-fa(x) mais je ne suis pas trop sure!!!
pour la question 4) j'y arrive pas.
enfin je pensait que G povait etre l'ensemble des fct qui s'annulent seulement en b.
ps(je suis nule en redaction)
merci encore