Espaces vectoriels

inviteb64a2f8e · 27/03/2009, 12h59

Bonjour à tous !

Je m'entraîne à faire plusieurs exercices sur les espaces vectoriels en vue de mon concours blanc mais là je bloque un petit peu sur un exercice. Je vous serais très reconnaissant de me donner quelques pistes. Voilà l'énoncé :

On pose $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Question 1 :

Soit $\text{[math]}$ de degré $\text{[math]}$ . On considère la famille $\text{[math]}$ . Montrer que cette famille est est une base de $\text{[math]}$ .
Calculer pour $\text{[math]}$ , les coordonnées de $\text{[math]}$ dans cette base.

=> Je pensais à la formule de Taylor pour montrer que cette famille est combinaison linéaire de $\text{[math]}$ et donc famille génératrice. Pour montrer qu'elle est libre :
si $\text{[math]}$ , montrons que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Mais je ne vois pas trop comment faire ça. J'avais pensé à dériver l'expression mais alors le $\text{[math]}$ car le degré de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ . Mais ça ne me dit pas que $\text{[math]}$ .

Pour les coordonnées de P(X+a), j'ai commencé comme ça :

Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ . Mais après je ne vois pas trop comment enchaîner.

Question 2 :

Soient $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ réels distincts. Déterminer les polynômes $\text{[math]}$ de degré $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ (symbole de Kronecker) soit $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ . Montrer que $\text{[math]}$ est une base de $\text{[math]}$

=> Alors là je ne vois pas du tout :S

Question 3 :

Soit $\text{[math]}$ . Justifier rapidement que F est un sev de E et déterminer une base du supplémentaire de F dans E.

=> Pour la justification ça va mais pour le supplémentaire je ne vois pas trop. Je ne vois pas trop ce que peut être le supplémentaire de F dans E. Je pense qu'il doit être facile à trouver, vu la façon dont est posée la question. Néanmoins, ça m'étonnerait que ce soit $\text{[math]}$

Question 4 :

Même question pour $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .

=> Pareil, je bloque sur le supplémentaire.

Voilà, comme vous pouvez le voir j'ai du mal avec cet exercice et ça m'embête vraiment de pas le comprendre. Je vous serais très reconnaissant de me donner quelques pistes.

Merci beaucoup !

ZImbAbwé.

**Flyingsquirrel** · 27/03/2009, 14h16

Salut,

Envoyé par ZimbAbwé

Question 1 : (...)

Pour montrer qu'elle est libre :
si $\text{[math]}$ , montrons que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Mais je ne vois pas trop comment faire ça. J'avais pensé à dériver l'expression mais alors le $\text{[math]}$ car le degré de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ . Mais ça ne me dit pas que $\text{[math]}$ .

Dériver est une bonne idée. Pour montrer que les $\text{[math]}$ sont nuls on peut recourir à un raisonnement par récurrence.

Envoyé par ZimbAbwé

Pour les coordonnées de P(X+a), j'ai commencé comme ça :

Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ . Mais après je ne vois pas trop comment enchaîner.

Elle sort d'où la première formule ? N'aurais-tu pas plutôt intérêt à utiliser la formule de Taylor ?

Envoyé par ZimbAbwé

Question 2 :

Soient $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ réels distincts. Déterminer les polynômes $\text{[math]}$ de degré $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ (symbole de Kronecker) soit $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ . Montrer que $\text{[math]}$ est une base de $\text{[math]}$

Tu connais $\text{[math]}$ racines de $\text{[math]}$ , tu sais que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ ... tu as tout ce qu'il faut pour écrire $\text{[math]}$ sous la forme d'un produit de termes de degré 1.

Envoyé par ZimbAbwé

Question 3 : (...)
=> Pour la justification ça va mais pour le supplémentaire je ne vois pas trop. Je ne vois pas trop ce que peut être le supplémentaire de F dans E. Je pense qu'il doit être facile à trouver, vu la façon dont est posée la question. Néanmoins, ça m'étonnerait que ce soit $\text{[math]}$

Cet ensemble (appelons le $\text{[math]}$ ) est effectivement beaucoup trop gros ; la décomposition de certains polynômes sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'est pas unique :

$\text{[math]}$ .

Essaie de trouver un supplémentaire plus petit.

inviteb64a2f8e · 27/03/2009, 17h45

Hello,

Alors je me suis repenché sur cet exercice et je pense que j'ai trouvé en fait mes problèmes.

Pour la 1), pour montrer que c'est une base, je suis bête de ne pas avoir pensé tout simplement à dire que la famille est à degrés échelonnés, donc libre, et a le même cardinal que la dimension de $\text{[math]}$ , à savoir $\text{[math]}$ . Donc c'est une base. Et pour les coordonnées, j'ai utilisé la formule de Taylor et après on a facilement $\text{[math]}$ .

Pour la 2), en fait j'ai remis le nez dans les exos faits en cours et ça ressemble fortement aux polynômes de Lagrange. Mais il faut que je les retravaillent pour voir comment les appliquer ici.

Pour la 3), j'ai essayé de comprendre ce que représentait F et j'en ai déduit que sa base était $\text{[math]}$ . Et donc la base du supplémentaire de F dans E est $\text{[math]}$ . Je pense qu'en fait il n'y a pas besoin de calculer le supplémentaire de F.

Pour la 4), j'ai fait pareil que pour la 3). La base de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ et donc la base de son complémentaire est $\text{[math]}$

Voilà, j'ai peut-être fait quelques erreurs et en tout cas merci beaucoup Flyingsquirrel !

ZimbAbwé.

**Flyingsquirrel** · 27/03/2009, 19h19

Envoyé par ZimbAbwé

Pour la 2), en fait j'ai remis le nez dans les exos faits en cours et ça ressemble fortement aux polynômes de Lagrange. Mais il faut que je les retravaillent pour voir comment les appliquer ici.

Les $\text{[math]}$ sont effectivement les polynômes de Lagrange mais on peut répondre à la question sans le savoir.

Je suis d'accord avec le reste. Une remarque tout de même : tu ne peux pas dire que « La base du supplémentaire de $\text{[math]}$ est... » car ce n'est pas la seule base possible. Il faudrait remplacer « la » par « une ».

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