Espaces vectoriels
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Espaces vectoriels



  1. #1
    inviteb64a2f8e

    Espaces vectoriels


    ------

    Bonjour à tous !

    Je m'entraîne à faire plusieurs exercices sur les espaces vectoriels en vue de mon concours blanc mais là je bloque un petit peu sur un exercice. Je vous serais très reconnaissant de me donner quelques pistes. Voilà l'énoncé :

    On pose ,

    Question 1 :

    Soit de degré . On considère la famille . Montrer que cette famille est est une base de .
    Calculer pour , les coordonnées de dans cette base.

    => Je pensais à la formule de Taylor pour montrer que cette famille est combinaison linéaire de et donc famille génératrice. Pour montrer qu'elle est libre :
    si , montrons que , . Mais je ne vois pas trop comment faire ça. J'avais pensé à dériver l'expression mais alors le car le degré de est . Mais ça ne me dit pas que .

    Pour les coordonnées de P(X+a), j'ai commencé comme ça :

    Soit tel que et donc . Mais après je ne vois pas trop comment enchaîner.

    Question 2 :

    Soient , réels distincts. Déterminer les polynômes de degré tels que (symbole de Kronecker) soit si et si . Montrer que est une base de

    => Alors là je ne vois pas du tout :S

    Question 3 :

    Soit . Justifier rapidement que F est un sev de E et déterminer une base du supplémentaire de F dans E.

    => Pour la justification ça va mais pour le supplémentaire je ne vois pas trop. Je ne vois pas trop ce que peut être le supplémentaire de F dans E. Je pense qu'il doit être facile à trouver, vu la façon dont est posée la question. Néanmoins, ça m'étonnerait que ce soit

    Question 4 :

    Même question pour avec .

    => Pareil, je bloque sur le supplémentaire.


    Voilà, comme vous pouvez le voir j'ai du mal avec cet exercice et ça m'embête vraiment de pas le comprendre. Je vous serais très reconnaissant de me donner quelques pistes.

    Merci beaucoup !

    ZImbAbwé.

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Espaces vectoriels

    Salut,
    Citation Envoyé par ZimbAbwé Voir le message
    Question 1 : (...)

    Pour montrer qu'elle est libre :
    si , montrons que , . Mais je ne vois pas trop comment faire ça. J'avais pensé à dériver l'expression mais alors le car le degré de est . Mais ça ne me dit pas que .
    Dériver est une bonne idée. Pour montrer que les sont nuls on peut recourir à un raisonnement par récurrence.

    Citation Envoyé par ZimbAbwé Voir le message
    Pour les coordonnées de P(X+a), j'ai commencé comme ça :

    Soit tel que et donc . Mais après je ne vois pas trop comment enchaîner.
    Elle sort d'où la première formule ? N'aurais-tu pas plutôt intérêt à utiliser la formule de Taylor ?

    Citation Envoyé par ZimbAbwé Voir le message
    Question 2 :

    Soient , réels distincts. Déterminer les polynômes de degré tels que (symbole de Kronecker) soit si et si . Montrer que est une base de
    Tu connais racines de , tu sais que et que ... tu as tout ce qu'il faut pour écrire sous la forme d'un produit de termes de degré 1.

    Citation Envoyé par ZimbAbwé Voir le message
    Question 3 : (...)
    => Pour la justification ça va mais pour le supplémentaire je ne vois pas trop. Je ne vois pas trop ce que peut être le supplémentaire de F dans E. Je pense qu'il doit être facile à trouver, vu la façon dont est posée la question. Néanmoins, ça m'étonnerait que ce soit
    Cet ensemble (appelons le ) est effectivement beaucoup trop gros ; la décomposition de certains polynômes sur et n'est pas unique :
    .
    Essaie de trouver un supplémentaire plus petit.

  3. #3
    inviteb64a2f8e

    Re : Espaces vectoriels

    Hello,

    Alors je me suis repenché sur cet exercice et je pense que j'ai trouvé en fait mes problèmes.

    Pour la 1), pour montrer que c'est une base, je suis bête de ne pas avoir pensé tout simplement à dire que la famille est à degrés échelonnés, donc libre, et a le même cardinal que la dimension de , à savoir . Donc c'est une base. Et pour les coordonnées, j'ai utilisé la formule de Taylor et après on a facilement .

    Pour la 2), en fait j'ai remis le nez dans les exos faits en cours et ça ressemble fortement aux polynômes de Lagrange. Mais il faut que je les retravaillent pour voir comment les appliquer ici.

    Pour la 3), j'ai essayé de comprendre ce que représentait F et j'en ai déduit que sa base était . Et donc la base du supplémentaire de F dans E est . Je pense qu'en fait il n'y a pas besoin de calculer le supplémentaire de F.

    Pour la 4), j'ai fait pareil que pour la 3). La base de est et donc la base de son complémentaire est


    Voilà, j'ai peut-être fait quelques erreurs et en tout cas merci beaucoup Flyingsquirrel !

    ZimbAbwé.

  4. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par ZimbAbwé Voir le message
    Pour la 2), en fait j'ai remis le nez dans les exos faits en cours et ça ressemble fortement aux polynômes de Lagrange. Mais il faut que je les retravaillent pour voir comment les appliquer ici.
    Les sont effectivement les polynômes de Lagrange mais on peut répondre à la question sans le savoir.

    Je suis d'accord avec le reste. Une remarque tout de même : tu ne peux pas dire que « La base du supplémentaire de est... » car ce n'est pas la seule base possible. Il faudrait remplacer « la » par « une ».

  5. A voir en vidéo sur Futura

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