Espaces vectoriels normés

[Thoy]

Bonjour à vous!
J'ai un petit souci sur cet exercice : j'ai E, F deux evn et f endomorphisme de E dans F. On suppose que pour toute suite de vecteurs de E (xn) telle que xn tende vers 0, on a (f(xn)) qui est une suite bornée. Je dois montrer que f est continue.

J'ai un peu du mal à formaliser tout ça... Je n'arrive pas trop à faire le lien avec la caractérisation séquentielle du fait que dans ce théorème, on stipule que (f(xn)) est convergente. Pourriez vous m'aider ?

Merci à vous!
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[God's Breath]

Il faut se débrouiller pour écrire avec et qui tendent vers 0.

[Thoy]

Je ne comprend pas trop... :/

[God's Breath]

C'est pourtant simple : la convergence de est immédiate.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thoy]

c'est le raisonnement que je ne comprend pas! je dois me ramener à la caractérisation séquentielle classique ? mais pourquoi est-ce que j'ai besoin de l'écrire comme ça ?

[Thoy]

et pourquoi je peux l'écrire comme ça ? d'où je sors ça ?

[God's Breath]

je dois me ramener à la caractérisation séquentielle classique ?

Oui.
Tu considères une suite de limite nulle, et tu démontres que la suite converge vers 0.

mais pourquoi est-ce que j'ai besoin de l'écrire comme ça ?

Comme on a seulement une hypothèse de bornitude, on essaie d'obtenir la convergence vers 0 par produit d'une suite de limite nulle et d'une suite bornée.

Le principe de la résolution d'un exercice, c'est d'adapter les théorèmes du cours à la situation à laquelle on est confronté.

[Thoy]

D'accord, et donc pour cela il suffit donc que j'écrive xn=an yn et le tour est joué?

[God's Breath]

Il faut prouver que tu peux l'écrire, c'est le seul point technique de l'exercice.

[Thoy]

Bon je suis toujours en train d'essayer de montrer que je peux bien l'écrire comme ça.
Je peux montrer que xn à partir d'un certain rang est bornée... enfin je tourne un peu en rond. Je ne vois pas trop...

[God's Breath]

Peux-tu écrire la suite de terme général 1/n comme produit de deux suites qui convergent vers 0 ?

[Thoy]

Et bien... Il ne me semble pas! Ou alors j'ai l'esprit un peu étroit!

[Thorin]

et si je te dis qu'on peut même faire mieux : trouver deux suites identiques telles que leur produit vaut 1/n ?

[Thoy]

Je vais trouver !

[Thoy]

et ben ?

[Thorin]

et bien oui !
comme quoi tu pouvais faire ça :

Peux-tu écrire la suite de terme général 1/n comme produit de deux suites qui convergent vers 0 ?

bon, maintenant, en te disant que "1/n" représente , essaie de voir comment tu pourrais trouver une écriture simple pour avoir

[God's Breath]

Oui, mais tu aurais aussi bien pu écrire

[Thoy]

Je peux prendre et yn égales à la fonction 1/sqrt(n) ?
Enfin après j'ai le droit de sortir [tex]\lamba _n[/tex de f ?

J'ai vraiment l'impression de rien comprendre

[God's Breath]

Attention est un scalaire, alors que est un vecteur. Tu dois les définir à partir de ; le calcul avec n'était qu'un exemple pour te donner des idées.

Par ailleurs tu peux «sortir» de par linéarité.