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Espaces vectoriels normés



  1. #1
    Thoy

    Espaces vectoriels normés


    ------

    Bonjour à vous!
    J'ai un petit souci sur cet exercice : j'ai E, F deux evn et f endomorphisme de E dans F. On suppose que pour toute suite de vecteurs de E (xn) telle que xn tende vers 0, on a (f(xn)) qui est une suite bornée. Je dois montrer que f est continue.

    J'ai un peu du mal à formaliser tout ça... Je n'arrive pas trop à faire le lien avec la caractérisation séquentielle du fait que dans ce théorème, on stipule que (f(xn)) est convergente. Pourriez vous m'aider ?

    Merci à vous!

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Espaces vectoriels normés

    Il faut se débrouiller pour écrire avec et qui tendent vers 0.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    Thoy

    Re : Espaces vectoriels normés

    Je ne comprend pas trop... :/

  4. #4
    God's Breath

    Re : Espaces vectoriels normés

    C'est pourtant simple : la convergence de est immédiate.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Thoy

    Re : Espaces vectoriels normés

    c'est le raisonnement que je ne comprend pas! je dois me ramener à la caractérisation séquentielle classique ? mais pourquoi est-ce que j'ai besoin de l'écrire comme ça ?

  7. #6
    Thoy

    Re : Espaces vectoriels normés

    et pourquoi je peux l'écrire comme ça ? d'où je sors ça ?

  8. #7
    God's Breath

    Re : Espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    je dois me ramener à la caractérisation séquentielle classique ?
    Oui.
    Tu considères une suite de limite nulle, et tu démontres que la suite converge vers 0.

    Citation Envoyé par Thoy Voir le message
    mais pourquoi est-ce que j'ai besoin de l'écrire comme ça ?
    Comme on a seulement une hypothèse de bornitude, on essaie d'obtenir la convergence vers 0 par produit d'une suite de limite nulle et d'une suite bornée.

    Le principe de la résolution d'un exercice, c'est d'adapter les théorèmes du cours à la situation à laquelle on est confronté.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. #8
    Thoy

    Re : Espaces vectoriels normés

    D'accord, et donc pour cela il suffit donc que j'écrive xn=an yn et le tour est joué?

  10. #9
    God's Breath

    Re : Espaces vectoriels normés

    Il faut prouver que tu peux l'écrire, c'est le seul point technique de l'exercice.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #10
    Thoy

    Re : Espaces vectoriels normés

    Bon je suis toujours en train d'essayer de montrer que je peux bien l'écrire comme ça.
    Je peux montrer que xn à partir d'un certain rang est bornée... enfin je tourne un peu en rond. Je ne vois pas trop...

  12. #11
    God's Breath

    Re : Espaces vectoriels normés

    Peux-tu écrire la suite de terme général 1/n comme produit de deux suites qui convergent vers 0 ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  13. #12
    Thoy

    Re : Espaces vectoriels normés

    Et bien... Il ne me semble pas! Ou alors j'ai l'esprit un peu étroit!

  14. #13
    Thorin

    Re : Espaces vectoriels normés

    et si je te dis qu'on peut même faire mieux : trouver deux suites identiques telles que leur produit vaut 1/n ?
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  15. #14
    Thoy

    Re : Espaces vectoriels normés

    Je vais trouver !

  16. #15
    Thoy

    Re : Espaces vectoriels normés

    et ben ?

  17. #16
    Thorin

    Re : Espaces vectoriels normés

    et bien oui !
    comme quoi tu pouvais faire ça :
    Peux-tu écrire la suite de terme général 1/n comme produit de deux suites qui convergent vers 0 ?
    bon, maintenant, en te disant que "1/n" représente , essaie de voir comment tu pourrais trouver une écriture simple pour avoir
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  18. #17
    God's Breath

    Re : Espaces vectoriels normés

    Oui, mais tu aurais aussi bien pu écrire
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  19. #18
    Thoy

    Re : Espaces vectoriels normés

    Je peux prendre et yn égales à la fonction 1/sqrt(n) ?
    Enfin après j'ai le droit de sortir [tex]\lamba _n[/tex de f ?

    J'ai vraiment l'impression de rien comprendre

  20. #19
    God's Breath

    Re : Espaces vectoriels normés

    Attention est un scalaire, alors que est un vecteur. Tu dois les définir à partir de ; le calcul avec n'était qu'un exemple pour te donner des idées.

    Par ailleurs tu peux «sortir» de par linéarité.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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