nature d'une suite et espaces vectoriels normés

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

theoreme:

si (x_n)_n converge alors elle admet une unique limite notée lim (x_n)


demonstration:

si l et l' sont deux limites de (x_n)_n on a

pr tt n appartien à N 0< ou = à N(l-l')=N((l-x_n) + (x_n -l'))< ou = à
N(l-x_n)+(N(x_n-l') et donc par encadrement la suite reele constante egale à N(l-l') converge vers 0 d'où N(l-l')=0 puis l=l'


rappel:

pour tout epsilon > 0 il existe un n_0 appartenant à N et pour tout n appartenant à N


n>=à n_0 implique N(x_n - l) < epsilon

ma question :


je ne comprends pas du tout l'inegalité en debut de demonstration cad

0 <= N(l-l')=N((l - x_n) + (x_n -l')) <=N(l - x_n) + N(x_n - l')

je suis pratiquement sur qu'il faut utiliser l'inegalité triangulaire mais je ne sais pas comment .je pense que c'est surtout que j'ai du mal à ecrire les inegalités des deux limites de la suite .


merci par avance pour votre aide
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[invite769a1844]

Bonjour,

oui c'est bien l'inégalité triangulaire qu'il faut utiliser:

.

ici avec , .

[invite69d45bb4]

mais pourquoi a=l - x_n et b=x_n - l'

[invite769a1844]

On applique l'inégalité triangulaire avec ces valeurs là de a et b, pour pouvoir montrer que (et donc que ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

peux tu juste m'ecrire les deux inegalités pour les deux limites de la suite

[invite769a1844]

Désolé mais je ne vois pas de quelle paire d'inégalité tu parles.

[invite69d45bb4]

N(x_n - l) < epsilon

c'est la definition que j'ai de la limite d'une suite ou plutot de sa convergence

[invite69d45bb4]

en fait moi pour les deux limites j'ai trouver respectivement :

N(x_n - l ) < epsilon ça c'est pour l

et

N(x_n - l')< epsilon ça c'est pour l'

[invite769a1844]

Oui, effectivement par définition de la limite, pour tout il existe tels que pour , on a

et .

[invite69d45bb4]

heu dans mon cours il n'y a pas le max et pas non plus le epsilon/2.comment tu as ça ?

[invite769a1844]

dans le cours on t' a dit que ça marchait pour tout , donc ça marche aussi pour .


la max, c'est parce qu'il y a un par rapport à , et un par rapport à .

[invite69d45bb4]

merci beaucoup pour tes explication j'ai tout compris