Espaces normés

[invite204ee98d]

Bonsoir,


Je butte à la première question d'un exo :

Je dois montrer que est une norme sur

Les deux premières conditions se montrent aisement mais pour la troisieme c'est a dire

Dans mon cas je dois donc arriver à :

on doit avoir

Idée: Le plus logique pour y arriver semble etre de prouver que si c'est égal à on a :




et si c'est égal à on a :

mais j'ai essayé et je n'y arrive pas


Merci pour votre aide.
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[Seirios]

Bonsoir,

Il suffit de remarquer que puis et ; alors . Tu fais un raisonnement analogue pour et tu conclus.

[invite204ee98d]

Ok merci, puis je dois démontrer

Pour on a :

donc vraie d'apres inegalité triangulaire mais en revanche pour celle de gauche je bloque.

[Seirios]

On peut utiliser que , donc ; il suffit alors de distinguer différents cas pour montrer que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite204ee98d]

Je ne comprends toujours pas comment montrer que :


Si le max vaut alors on doit montrer mais cela depend de la valeur de . Si alors c'est faux
Et pour l'autre cas si le max vaut: on doit montrer : et je vois pas comment

[Seirios]

Tu as trois cas à distinguer : si le max vaut ou ou . Par exemple, pour le premier cas, tu dois montrer que sachant que (en particulier, le cas n'apparaît pas).

[invite204ee98d]

On sait et on veut montrer donc soit je remplace le |x| dans la parenthèse qui ne m'avance à rien puisque ca me donne une autre inégalité, soit j'essaie de prouver que ce qui ne m'avance à rien puisque on peut pas le prouver

[invite204ee98d]

On fait c'est le coefficient qui gene devant la parenthese, à chaque fois il fait tomber à l'eau mes idées

[Seirios]

Tu as , donc . Par conséquent, .

[invite204ee98d]

Maintenant pour on a sauf que ca marcherait si on avait :

et ca donne donc


Le soucis c'est qu'ici on n'a pas mais


Autre chose je ne vois d'ou sort le cas d'autant plus que ca serait exactement la meme chose que l'inégalité que vous avez écrite dans votre message precedent car on aurait soit (juste le y à la place du x qui change)

[invite204ee98d]

Ah oui mais de toute facon

[invite204ee98d]

Dans l'énoncé il est écrit que la boule donc l'inégalité me permet d'en déduire quoi ?

Que mais comment puis je traduire sous forme d'une boule ? est-ce ?

[invite204ee98d]

D'autant plus que n'a pas de sens il faut un rayon et un centre, je ne peux pas dire

[Seirios]

Dans l'énoncé il est écrit que la boule donc l'inégalité me permet d'en déduire quoi ?

Pour écrire des accolades, utilise \{ et \} ; si tu écris simplement { ou } cela n'apparaît pas.

Que mais comment puis je traduire sous forme d'une boule ?

Cette écriture n'a pas de sens.

D'autant plus que n'a pas de sens il faut un rayon et un centre, je ne peux pas dire

(resp. ) est la boule de rayon 1 centrée en l'origine pour la norme (resp. ). Et l'inégalité que tu as montrée correspond exactement à l'inclusion que tu donnes.

[invite204ee98d]

correspond à l'inégalité démontrée pour les boules de rayon 1, mais pourtant je dois montrer :

donc est faux puisque vous me dites que

[Seirios]

L'inclusion n'est pas nécessairement vérifiée. L'inégalité permet de montrer que ; tu as alors ce qu'il te faut.

[invite204ee98d]

Donc vous voulez dire que 3B_1=B_1(O,3)
Et l'inégalité ne prouve en rien que

Peut etre que j'ai un probleme avec les notations : B_1 veut bien dire la boule de centre O et de rayon 1 ?

[Seirios]

Donc vous voulez dire que 3B_1=B_1(O,3)
Et l'inégalité ne prouve en rien que

Peut etre que j'ai un probleme avec les notations : B_1 veut bien dire la boule de centre O et de rayon 1 ?

Tu peux montrer en exercice que dans un espace vectoriel normé, . Ensuite, dire que ou est équivalent...

[invite204ee98d]

Excusez-moi de revenir subitement sur ce message, mais je viens de me rappeler que le cas où le max vaut m'avait posé problème, les deux autres cas c'est à dire et se montrent mais le dernier non puisque on a :

soit du coup la seule majoration possible se fait en remplacant et on a :


sauf que est négatif donc je ne pas majorer par

[Seirios]

L'inégalité est équivalente à ou encore .