Hypothèse de domination

[invite6cc88f91]

Bonjour,

L'hypothèse de domination (telle que je l'ai vue) introduit l'existence d'une fonction qui doit être notamment :

-continue par morceaux sur un intervalle
et
-intégrable sur ce même intervalle

Toujours dans le cadre de mes connaissances, une fonction est intégrable sur un intervalle si et seulement si l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle converge absolument.
Or pour qu'une intégrale soit convergente (qui plus est absolument) elle doit être définie, et donc la fonction intégrée au moins continue par morceaux.
C'est pourquoi suivant ce raisonnement, "continue par morceau" est une condition nécessaire d'intégrabilité. Je ne voit donc pas pourquoi cela est précisé, en plus de l'intégrabilité.
J'ai bien conscience qu'il doit y avoir une erreur de raisonnement mais laquelle? Auriez vous un exemple de fonction intégrable sur un intervalle mais pas continue par morceaux?

Cordialement,
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[Seirios]

Bonjour,

La continuité par morceaux n'est pas une condition nécessaire d'intégrabilité, mais suffisante (pour des intégrales qui ne sont pas propres, bien sûr).

[invite6cc88f91]

Pourtant, la fonction inverse est bien continue par morceaux (et même continue tout court) entre 1 et l'infini mais sur cet intervalle, l'intégrale n'est pas convergente, donc non plus absolument convergente. Elle n'est donc pas intégrable (au sens que je connais)...

[Seirios]

C'est pour cela que j'ai précisé que je ne parlais que d'intégrales propres. Il existe bien des fonction intégrable (au sens de Riemann), qui ne sont pas continues par morceaux ; regarde par exemple ici.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6cc88f91]

Tu as en fait précisé le contraire :

(pour des intégrales qui ne sont pas propres, bien sûr)

D'ou ma perplexité
Très intéressant dans le lien, l'exemple de la fonction qui, sur [0;1] associe l'inverse de la partie entière de 1/x !!

Merci de ta réponse, qui répond à ma question.

Cordialement