Champs de vecteurs, de la fonction à l’équation différentielle, et réciproquement.

[invite7849ae55]

Bonjour. Je me posais une question, j'ai cherché et n'ai pas trouvé grand chose sur internet, donc je viens poser ma question ici =)

Si on prend une fonction f de C dans C, et qu'on prend F le champ de vecteurs , alors comment trouver l’équation différentielle qui décrit F ?
Et réciproquement d'ailleurs, si on défini un champs par une équation différentielle, comment trouver la fonction complexe associée ?

Si il n'existe pas de méthode générale, alors jusqu'à quelle généralité peut-on aller ?
Ou alors pour quels types d'équation différentielles ou de fonction complexe est il possible de résoudre ce problème et quels en seraient les méthodes de résolution ?



Exemple : si on pose f(s)=s², g(s) = e^(-i(arg(s)+ π)), quels seraient les équations différentielles associées aux champs de vecteurs construits de même façon qu'au dessus ?
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[invite76543456789]

Salut,
L'equation differentielle ce serait simplement celle dont les solutions sont en tout point tangentes à ton champ de vecteur.
Donc X'=F(X).
Mais comme tu ne precise pas le lien que tu veux entre f et les solutions.
En fait je comprend pas trop ta question.

[invite7849ae55]

Bah mettons je pars de f(s) = s² et j'ai une équation différentielle qui dit y'=sin y + x
Bon bah le champs construit à partir de l'équation et celui à partir de la fonction ne sont pas franchement les mêmes ^^.
J'aimerais trouver l’équation différentielle telle qu'ils soient identiques pour une fonction donnée, et trouver la fonction telle qu'ils soient identiques pour une équation donnée.

Et je ne connais aucune méthode pour arriver à cela.

[invite76543456789]

Dans ce cas là tu n'a qu'a prendre l'équation X'=F(X).
Dans ton exemple x'=x²-y² et y'=2xy.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7849ae55]

Merci beaucoup.

J'ai encore un soucis.
Pour deux champs de vecteurs différents, si en chaque point du plan, le vecteur du premier champs en ce point est colinéaire au vecteur du second en ce point, alors la description par équation différentielle est la même, puisque chaque tangente reste la même.
Comment faire pour, à partir d'équations différentielles, créer exactement les mêmes champs (mêmes normes, mêmes sens) que par la fonction complexe de départ ?
Que faut-il ajouter ?

Mon but final est, si je donne un point du plan, avoir la fonction paramétrique décrivant la trajectoire que "suivrait" un objet dans le champs de vecteur.
Je suis allé trop vite en pensant qu'il me suffirait d'avoir une solution de l'equadiff du champs passant par ce point :/

[invite76543456789]

Non, tu n'obtiendras pas les meme equations differentielles, parce que le vecteur du champ au point considéré t'indique la tangente à la courbe solution passant par ce point, mais aussi la "vitesse" à laquelle la courbe passe en ce point. Tu n'auras donc pas du tout la meme équation differentielle.

[invite7849ae55]

Ah donc c'est bien.
Mais alors, est-ce qu'une solution de "x'=x²-y² et y'=2xy" passant par un point du plan correspond à la "trajectoire" d'un objet "partant" de ce point dans le champs de vecteurs construit à partir de f (f(s) = s²) ?
J'utilise des termes physiques mais je ne sais pas comment dire autrement ^^.

[invite76543456789]

Oui c'est exactement ça.

[invite7849ae55]

Génial alors, mon problème est résolu, merci =)

[invite79159cb5]

soit l'equation diff x"+x=0
- intégrer cette équation.
- donner le champs de vecteur associé dans le plan de phases.
-trouver une integrale premiére

[Médiat]

Bonjour,


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Médiat, pour la modération