Equation différentielle (3)

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J'essaye depuis hier d'intégrer une équation différentielle ressemblant fortemement à la précédente:

y''-3*y'+2*y=sinh(x)

le polynôme caractéristique est r^2-3*r+2=0 Les racines sont 1 et 2 Le second membre est sinh(x) avec 1 racine simple du polynôme caractéristique, il faut donc poser:

y=x*(a*e^x+b*e^-x) il vient:

(a*x+a+1)*e^x+b*x*e^-x -3*[(a*x+1)*e^x-(b*x-b)*e^-x] +2x*(a*e^x+b*e^-x) =

Après identification on obtient des valeurs fausses pour a et b

Pourrait-t'on m'éclairer sur la marche à suivre pour résoudre cette équation?

Merci d'avance pour vos réponses Cordialement le fouineur
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[albanxiii]

Bonjour,

Est-ce que ça ne serait pas plutôt qu'il faut poser ?

@+

[le fouineur]

Bonjour et merci pour ta réponse rapide, albanxiii

tu as sans doute raison, je vais réessayer avec la fonction que tu me proposes.

Cordialement le fouineur

[le fouineur]

Bonjour à tous,

j'ai essayé la fonction inconnue proposée par albanxiii et j'aboutit à:

-a*c*e^x+[d*e^-x*(6*b+a*(6*x-5))]=

et je n'arrive pas à identifier a,b,c,d

Quelqu'un d'autre y verra peut-être plus clair que moi,

Merci d'avance pour vos réponses Cordialement le fouineur

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bizarre !

Tu obtiens des x² (développe), donc ton résultat est faux.
Pour l'identification, tu dois avoir autant ce xe^x de chaque côté, autant de xe^-x, de e^x et de e^-x de chaque côté.

Cordialement.

[gg0]

J'ai regardé de plus près.

x(ae^x+be^-x) n'est pas solution particulière, il faut alors augmenter le degré (en espérant que ça marche); le b dans (ax+b)(ce^x+de^-x) ne sert à rien car b(ce^x+de^-x) est une solution de l'équation sans second membre et donc ses effets disparaissent quand on remplace dans l'équation complète.
Tu peux alors essayer (ax²+bx) (ce^x+de^-x), ou, pour éviter d'avoir des parapètres inutiles, et comme a est non nul, (x²+bx)(ce^x+de^-x).

Je sais que ça marchera.

Cordialement.

[gg0]

Rectification :

Il n'y a pas besoin de x², je suis parti sur un autre calcul (je ne sais pourquoi, j'ai traité le second membre x sinh(x) !).
Une solution particulière de la forme x(ae^x+be^-x) convient bien !

Désolé !

[le fouineur]

Bonjour gg0 et merci pour tes réponses rapides et le mal que tu t'est donné,

Je vais réessayer avec la fonction inconnue que tu me suggères et je te tiendrai au courant....

Cordialement le fouineur

[le fouineur]

Je vous mets en ligne ce que j'ai fait:

y=x*(a*e^x+b*e^-x) ; y'=a*e^x*(1+x)-b*e^-x*(x-1) ; y''=a*e^x*(2+x)-b*e^-x*(x-2) on aboutit à:

a*e^x*(2+x)-b*e^-x*(x-2) -3*[a*e^x*(1+x)-b*e^-x*(x-1)]+2*[x*(a*e^x+b*e^-x)]=(e^x/2)-(e^-x)/2

on identifie: -a*e^x=e^x/2 donne a=-1/2 et -5*b*e^-x=(-e^-x)/2 donne b=1/10

on ne peut pas identifier 6*b*x*e^-x car il n'y a pas de (x*e^-x)/2

Je suis complètement dans le brouillard,le résultat que j'obtiens est faux, Merci d'avance pour votre aide

[gg0]

Bonjour.

Déjà une erreur sur la dérivée seconde qui est y''=a*e^x*(2+x) + b*e^-x*(x-2).

Ensuite, tu as raison, et je viens de voir pourquoi (je n'aurais pas fait ainsi si j'avais eu à faire cette résolution, je l'ai prise en cours de route en te suivant !) : La résonance ne concerne que le e^x donc la forme à prendre est axe^x+be^-x.
Et en plus, c'est plus simple.

Un truc classique : Si dans une équation linéaire le second membre est de la forme f+g et qu'on sait résoudre avec f seul ou g seul, on le fait et on ajoute les solutions particulières obtenues. ici le axe^x est pour le e^x/2 et le be^-x pour le e^-x/2. je les ai seulement ajoutés avant de les déterminer complétement.

Cordialement.

[invite473b98a4]

Moi je trouve

[le fouineur]

Bonjour et merci pour kalish et gg0,

J'ai bien trouvé la solution donnée par kalish avec la méthode de gg0

Merci encore pour ton aide, gg0, et le temps passé sur ce problème. Cordialement le fouineur

[invited9b9018b]

Bonsoir,

Une astuce quand on recherche une solution particulière, pour éviter de se tromper dans les calculs ou de devoir réessayer avec un ordre supérieur à chaque fois :
Au lieu de supposer un second membre de la forme (ax+b)f(x) (par exemple) on lécrit sous la forme P(x)f(x) où P est un polynôme.

A+