Matrice de hauteur n, de largeur n et ... de profondeur n.

invite0f31cf4c · 12/01/2006, 21h51

Bonsoir,
Il est tard et je suis fatigué et du coup, j'ai une question débile.
Est-ce qu'il existerait des "super-matrices" qui ne sont plus un carrée (ou un rectangle), mais une sorte de cube (ou un pav&#233

...
Je ne sais pas trop comment expliquer, mais par exemple, pour définir une telle super-matrice M 2x2x2, il faudrait définir les coefficients M(1, 1, 1), M(1, 1, 2) ...
Je sais pas si je suis très clair ... Et peut-être que ma question est profondement stupide, mais ça fait pas mal de temps que je me la posais.
Peut-être qu'en généralisant ce concept, on peut définir avec ces super-matrices des applications multilinéaires ou quelque chose comme ça ...
Merci !
L.S.

**GuYem** · 12/01/2006, 21h54

Salut.

On peut bien sur définir des matrices comme celle-ci, et tu l'as d'ailleurs fait.
Mais je ne crois pas que l'interprétation "application linéaire" de ces matrices soient facile à voir. Au pire cela ne diffèrerait pas beaucoup, dans le cas d'une matrice cubique nxnxn, d'une application linéaire d'un ev de dimension n dans un autre de dimension n^2.

Mais peut-être je dis des bétises aussi

**matthias** · 12/01/2006, 22h02

Je crois qu'on parle généralement d'hypermatrice. On peut vior ça comme une matrice dont les éléments sont des matrices.
Et franchement, je ne sais pas à quoi ça sert.
Une petite recherche sur Google ...

**GuYem** · 12/01/2006, 22h03

Envoyé par matthias

Je crois qu'on parle généralement d'hypermatrice. On peut vior ça comme une matrice dont les éléments sont des matrices.
Et franchement, je ne sais pas à quoi ça sert.
Une petite recherche sur Google ...

Une matrice dont les éléments sont des matrices, je la vois plutôt avoir quatre dimensions que trois.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

A1 · 12/01/2006, 22h04

Salut ! peut-être bien qu'on peut construire de super-matrices qui dépendent non pas seulement des trois dimensions mais aussi du temps .. Des matrices qui changent de coefficients en fonction de la quatrième dimension..
Mais bon , qui sait ? la bêtise peut bien être la voie vers la découverte..

_________________
A1

**matthias** · 12/01/2006, 22h08

Envoyé par GuYem

Une matrice dont les éléments sont des matrices, je la vois plutôt avoir quatre dimensions que trois.

Pas nécessairement. Considère une matrice 1xn de matrices nxn

Envoyé par A1

peut-être bien qu'on peut construire de super-matrices qui dépendent non pas seulement des trois dimensions mais aussi du temps .. Des matrices qui changent de coefficients en fonction de la troisième dimension

Cela se fait, ça ne pose aucun problème. Pas nécessairement pour le temps, mais on peut très bien faire dépendre les coefficients d'une matrice d'un paramètre quelconque (même continu), créer des fonctions, des équa diffs ....

A1 · 12/01/2006, 22h13

Envoyé par matthias

Cela se fait, ça ne pose aucun problème. Pas nécessairement pour le temps, mais on peut très bien faire dépendre les coefficients d'une matrice d'un paramètre quelconque (même continu), créer des fonctions, des équa diffs ....

oui oui c'est vrai ... j'ai pas fait le rapport !!

invite0f31cf4c · 12/01/2006, 22h35

Hé bah ... Je savais pas qu'une question issue de la fatigue suciterait autant de réaction en aussi peut de temps

!
En fait, j'avais pas pensé, mais une super-matrice défine comme précédement revient en fait à faire une matrice de matrice. Et si on augmente le nombre de "dimension", en fait, on peut faire un tableau de tableau de tableau ...
J'ai cherché le terme "hypermatrice" sur Google, mais j'ai pas trouvé. Par contre, j'ai trouvé supermatrice ... Mais ça n'a rien à voir.
Donc peut-être que nous sommes à l'aube d'une énorme révolution des mathématiques ... Non ?

invite0f31cf4c · 12/01/2006, 22h39

GuYem, juste pour préciser pourquoi je parlais d'application linéaire ...
En fait, avec les matrices n x n, on peut multiplier par la droite et par la gauche. Peut-être que l'on peut définir je-ne-sais-comment avec une matrice n x n x n une multiplication par la face qui est au premier plan et par la face qui est en arrière plan. Du coup, peut-être que l'on peut ainsi gérer les applications linéaires à plusieurs variables.
Voili voilou ... ++ !

invite6b1e2c2e · 12/01/2006, 23h05

Je crois que ça s'appelle des tenseurs. Ca a été étudié pour des histoires de tenseurs d'élasticité et des trucs comme ça je crois. Essentiellement, c'est un tableau à k entrées.
Sinon, évidemment, les matrices donnent les applications linéaires, mais aussi les formes bilinéaires.
Je pense aussi qu'on peut ainsi définir des applications n-linéaires de cette manière : Suffit de définir correctement le produit tenseur vecteurs et y a pas de raison que ça marche pas !

__
rvz

**BioBen** · 13/01/2006, 00h13

Je crois que ça s'appelle des tenseurs

Euh ... les tenseurs c'est pas des trucs tout bête (enfin ca dépend desquels

) à n-lignes et p-colonnes ?
(style tenseur métrique de Minkowski et compagnie) ?

Maintenant tu as peut-etre raison, mais moi j'ai jamais vu de matrice cubique

invite986312212 · 13/01/2006, 08h20

Envoyé par LocalStone

Bonsoir,
Est-ce qu'il existerait des "super-matrices" qui ne sont plus un carrée (ou un rectangle), mais une sorte de cube (ou un pavé) ...

si on se rappelle qu'une matrice représente une application linéaire, on pourrait penser qu'on a besoin d'une matrice à trois dimensions pour représenter une application bilinéaire de ExF -> G où E,F,G sont des espaces vectoriels.

En fait c'est inutile du fait de la construction du produit tensoriel qui permet de représenter une application bilinéaire par une application linéaire (donc par une matrice ordinaire).

par contre une matrice est aussi une façon d'ordonner des nombres, et en statistiques il arrive qu'on étudie des "tableaux à trois indices", par exemple si répète n fois la mesure de m variables sur p individus.

**GrisBleu** · 13/01/2006, 09h06

Salut

Une "matrice" a trois dimension est un tenseur (3,0) par exemple. Un tenseur d ordre n est une application n lineaire (lineaire en chacun des arguments) vers R.

Une matrice {Mij} peut etre vue comme un tenseur (2,0)
$\text{[math]}$ ou u et v sont deux vecteurs. Bon on peut ecrire plus simplement
$\text{[math]}$
Une matrices en 3D {Mijk} serait un tenseur (3,0)
$\text{[math]}$ . Dans ce cas il n y a plus trop d ecriture simple avec des transposee ou autre... (je crois du moins)

Des fois on ecrit des matrices 2*2 de matrices 2*2 pour eviter d ecrire une grosse matrice 2*2 mais avec pleins de colonnes et de lignes

a+

invité576543 · 13/01/2006, 09h22

Bonjour,

rvz a raison, les matrices cubiques ont un rapport étroit avec les tenseurs!

Et le rapport avec les applications linéaires est immédiat.

Une matrice carrée représente une application linéaire de Rⁿ vers Rⁿ. De la même manière, une matrice cubique représente, entre autre, une application bilinéaire de (Rⁿ)² -> Rⁿ. Une base orthonormée (e_i) étant donnée, le coefficient de la "hyper" matrice a_ijk est la projection sur e_j de l'image du couple (e_i, e_j).

Les applications multilinéaires et les tenseurs, c'est en gros la même chose. Et les tenseurs, c'est en fait assez simple, mais la pratique trop courante des matrices carrées fait perdre quelques généralités bien utiles.

Une matrice carrée est presque toujours présentée comme représentant (une fois une base donnée) une application linéaire de Rⁿ -> Rⁿ. Mais, si on y regarde de plus près, en faisant l'application (v, w) -> (Mv).w on obtient à partir de la matrice M une application bilinéaire de (Rⁿ)² -> R . Une matrice carrée peut donc être vue comme représentant divers types d'applications linéaires ou multilinéaires.

En fait vous connaissez une autre application bilinéaire qui à deux vecteurs applique un réel: le produit scalaire. Il correspond à la matrice identité. Et vous connaissez aussi une application bilinéaire qui à partir d'une paire de vecteurs construit un vecteur, le produit vectoriel. On peut représenter le produit vectoriel comme une matrice cubique (1). Représenter cette matrice cubique sur une feuille de papier n'est pas très difficile...

Une fois que l'on a compris que l'on parle de fonctions multinéaires, et qu'une matrice carrée représente à la fois une fonction linéaire de Rⁿ -> Rⁿ, ou une fonction binéaire de (Rⁿ)² -> R, cela devient assez simple.

Très généralement, une application multilinéaire est une application de (Rⁿ)^m -> (Rⁿ)[EXP]p[\EXP], linéaire pour chaque vecteur de la liste d'entrée (avec la convention au passage que (Rⁿ)⁰ = R). Cela se représente par une hyper-matrice en m+p dimensions! Réciproquement, une hypermatrice en q dimension représente diverses applications multilinéaires telles que m+p = q .

C'est une présentation très succinte des tenseurs, qui laisse dans l'ombre plein de choses, mais ça devrait répondre à la question initiale!

Cordialement,

(1) ses coefficients sont $\text{[math]}$ , qui est nul sauf si i, j, k sont tous différents - $\text{[math]}$ est nul par exemple -, et égaux à +1 ou -1 selon que ijk est une permutation circulaire de 123 ou non - $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

EDIT: Croisement

**Aragorn_54** · 04/05/2006, 10h30

Bonjour à tous

(déterrage de sujet ^^.. merci google),

C 'est juste pour une confirmation (ou une infirmation si je n'ai rien compris ^^):
Je suis en fait entrain d'étudier mon cours de méca des milieux continus où il est question de tenseurs.. et justement, par curiosité, je me suis posé la même question qu'ici mais dans l'autre sens ^^..

On prend toujours, dans les cours introductifs, l'exemple des tenseurs d'ordre 2 quand il est question de composantes de tenseurs: "on peut les penser comme étant les éléments d'une matrice".

Ce que je me demandais : les composantes d'un tenseur d'ordre 3 (à n'importe quel nombre de dimensions d'espace) se représenteraient par quelque chose comme une matrice en 3 dimensions (ou un tableau à 3 entrées), c 'est bien ce que vous dites ?

Notez que je ne suis encore qu'étudiant en physique (pardonnez-moi si des évidences mathématiques ne coulent pas toujours de source pour moi

)

invite6b1e2c2e · 04/05/2006, 10h47

Salut,

C'est exact : Un tableau à n entrées peut se voir comme une application n linéaire assez facilement. Je ne sais pas si c'est ce que tu veux, mais bon...

__
rvz

**Aragorn_54** · 04/05/2006, 10h55

Vu que ton post commence par "c'est exact", j'imagine que c'est bien ce que j'avais cru comprendre

!

Merci beaucoup à toi d 'avoir pris la peine de répondre à ma question, sûrement un peu limite (la réponse étant cachée quelque part dans les posts précédents ^^).

..et bonne journée (au passage

) !

**shokin** · 04/05/2006, 12h24

Peut-être qu'une matrice cubique pourrait nous aider au RUBIK.

Shokin

**martini_bird** · 04/05/2006, 12h35

Envoyé par shokin

Peut-être qu'une matrice cubique pourrait nous aider au RUBIK.

Shokin

Salut,

non pas vraiment : le groupe des transformations du rubik est un groupe fini et la théorie des représentations linéaires nous dit que ce groupe peut-être représenter comme un endomorphisme d'un espace vectoriel, donc une matrice carrée.

Cordialement.

**Aragorn_54** · 04/05/2006, 15h07

(voilà, ce sont ce genre de considérations que j'ai parfois du mal à saisir totalement

)

Matrice de hauteur n, de largeur n et ... de profondeur n.

Matrice de hauteur n, de largeur n et ... de profondeur n.

Re : Matrice de hauteur n, de largeur n et ... de profondeur n.

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