problème d'intervalle !

[invite4b0b4f95]

Bonjour,
J'ai un petit problème pour me situer en ce moment on travaille sur les angles orientés ( programme de 1e S ) et lorque l'on se place sur le cercle et qu'on repère des points on varie souvent entre l'intervalle [ 0, 2pi ] ou [ - pi; pi ] jusque là ça va ! mais maintenant je suis face à un exercice qui me demande de résoudre l'équation dans l'intervalle indiqué qui est [ pi/2 ; 3pi/2]
l'équation : racine de 2 cos x - 1 = 0
racine de 2 cox x = 1
cos x = 1/racine de 2 + k* 2pi
cos x = racine de 2/2 + k * 2pi
x = pi / 4 + k*2pi
ou x = - pi/4 + k * 2pi
je ne pense pas avoir fait de fautes dans l'équation mais comment je peux fair pour la mettre dans l'intervalle [ pi/2 ; 3pi/2] ? ou alors est-ce que je dois dire qu'il n'y a pas de solution ?

aussi dans une autre question il me donne la même équation mais avec le signe ! ça donne
racine de 2 cos x - 1 0 donc si j'obtiens x pi / 4
et x - pi/4
donc pour la solution sur le cercle se serai ] pi/4 ; 2pi ] soit sur mon intervalle [pi/2 ; 3pi/2] en faite je ne vois pas tro l'intéret car une fois on a aucune solution et l'autre tout l'intervalle donc à mon avis ce n'est pas cela qu'il faut fair donc si vous pouviez m'aiguillez ... svp
PS : si vous pouviez me dire comment on écrit la racine et le pi en signe mathématique ça rendrait plus clair mes calculs merci !
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[matthias]

racine de 2 cox x = 1
cos x = 1/racine de 2 + k* 2pi

Ici tu n'as aucune raison d'introduire "k*2pi" !!!

[invite4b0b4f95]

Ici tu n'as aucune raison d'introduire "k*2pi" !!!

ah oui c'est parce que je suis dans l'intervalle ( pi/2 ; 3pi/2 ] que je n'ai pas à le rajouter ?

[matthias]

Non pas du tout.
cos(x) est un nombre réel comme les autres.
Si tu as : tu en déduis naturellement , exactement comme tu le ferais pour l'équation .

C'est seulement quand tu te débarrasses du cosinus que des 2kPI peuvent apparaître, puisque tu cherches toutes les solutions et qu'il peut y en avoir plusieurs.

Exemple : si on cherche toutes les solutions dans R de l'équation : cos(x) = cos(1), on obtient x = 1 + 2kPI ou x = -1 + 2kPI (avec k quelconque dans Z). Si on se limite a un intervalle donné on va limiter le nombres de valeurs acceptables pour k. Si on ne cherche que les solutions dans [0;2PI] on va obtenir 1 et 2PI - 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b0b4f95]

ok donc je ne metterais plus + 2kpi quand il y a un cosinus! merci pour l'ino mais tu ne sais pas comment ça se passe pour l'intervalle [ pi/2 ; 3pi/2] ?

[matthias]

cos x = racine de 2/2 + k * 2pi

Donc ici tu as en fait

et tu en déduis bien:

x = pi / 4 + k*2pi
ou x = - pi/4 + k * 2pi

Maintenant il ne te reste qu'à chercher dans chacun des cas les valeurs de k qui font que tes solutions seront dans l'intervalle qui t'est imposé. Juste quelques inégalités simples à résoudre.

[invite4b0b4f95]

Donc ici tu as en fait

et tu en déduis bien:

Maintenant il ne te reste qu'à chercher dans chacun des cas les valeurs de k qui font que tes solutions seront dans l'intervalle qui t'est imposé. Juste quelques inégalités simples à résoudre.

Mais quand on dit que k est dans l'intervalle Z ça veut dire que c'est forcément un nombre entier ?

[Quinto]

Z n'est certainement pas un intervalle...

[invitebb921944]

Salut.
Oui k est forcément un nombre entier relatif.
Pourquoi ? Parce que
cos(Pi/4+2kPi)=cos(Pi/4) uniquement pour k appartient à Z.

[matthias]

cos(Pi/4+2kPi)=cos(Pi/4) uniquement pour k appartient à Z.

Dit comme ça c'est faux (k=-1/4 marche).

Prendre k entier et ajouter 2kPI correspond simplement à k tours sur le cercle trigonométique.

[invite4b0b4f95]

Dit comme ça c'est faux (k=-1/4 marche).

Prendre k entier et ajouter 2kPI correspond simplement à k tours sur le cercle trigonométique.

si je fais cos(Pi/4+2kPi avec k= -1/4 ça va me donner Pi/4 + -PI/2 soit -Pi/4 mais je ne serais toujours pas dans le bon intervalle [Pi/2; 2Pi/3] donc est-ce que je doit dire qu'il n'y a pas de soluton et avec le signe supérieur ? je fais comment ? et dans ce cas k n'est pas un nombre entier c'est sûr que c'est possible ?
je commence à désespérer

[invite4b0b4f95]

Z n'est certainement pas un intervalle...

c'est un ensemble de nombre ! ça s'appelle comment déjà ?

[matthias]

Ca s'appelle l'ensemble des entiers relatifs.

[invite4b0b4f95]

Dit comme ça c'est faux (k=-1/4 marche).

Prendre k entier et ajouter 2kPI correspond simplement à k tours sur le cercle trigonométique.

ok mais en faite quand t'as dit ça c'était qu'un contre exemple ? ça n'a rien a voir avec l'intervalle [pi/2; 2Pi/3]

[invite4b0b4f95]

S'il vous plait !!! Pourquoi personne peut m'aider ! J'ai un DS lundi et ça fait parti de mon programme de révision je ne revois pas ma prof de math avant et si vous ne m'aidez pas je n'y arriverais jamais !!! j'aimerais juste savoir comment on passe d'une mesure Pi/4 de l'intervalle [0; 2Pi] à cette même mesure dans l'intervalle [PI/2; 3Pi/2 ] ?? et comment je peux répondre à mon inégalité alors que j'ai plusieurs mesures et que je me situe sur un cercle !

[matthias]

ok mais en faite quand t'as dit ça c'était qu'un contre exemple ? ça n'a rien a voir avec l'intervalle [pi/2; 2Pi/3]

Oui, ça n'a pas grand-chose à voir avec ton problème, tu as bien toutes les solutions réelles avec :
x= PI/4 + 2kPI ou x = -PI/4 +2kPI avec k entier relatif.

Maintenant c'est à toi de trouver pour quelles valeurs de k (entier) tu as PI/2 <= PI/4 + 2kPI <= 3PI/2 et pour quelles valeurs de k tu as PI/2 <= -PI/4 + 2kPI <= 3PI/2
Tu dois savoir faire ça.

[invite4b0b4f95]

Oui, ça n'a pas grand-chose à voir avec ton problème, tu as bien toutes les solutions réelles avec :
x= PI/4 + 2kPI ou x = -PI/4 +2kPI avec k entier relatif.

Maintenant c'est à toi de trouver pour quelles valeurs de k (entier) tu as PI/2 <= PI/4 + 2kPI <= 3PI/2 et pour quelles valeurs de k tu as PI/2 <= -PI/4 + 2kPI <= 3PI/2
Tu dois savoir faire ça.

Non je ne sais pas faire ça, pour moi il n'y a aucune solution étant donné que k représente le nombre de tour et que déjà en ajoutant 2Pi la valeur est trop grande je ne vois pas du tout ! sachant que pi/4 est trop petit c'est quoi qui est si simple la dedans que je n'arrive pas a trouver ?

[matthias]

Il arrive fréquemment que des équations n'admettent pas de solution, ce n'est pas un problème ...
Dans ce cas tu conclus: ensemble des solutions = ensemble vide.

[invite4b0b4f95]

ok et quand je dois faire supérieur comme il y a plusieurs solution meme si elle ne sont pas dans l'intervalle c'est tout mon intervalle [pi/2; 3pi/2] qui est sélectionné ?