Flot

[titi07]

bonjour tous le monde,
Considerons le syteme suivant:
ou et
est ce que quelqu'un pourrait me guider (un document ou livre ) ou je peux trouver la preuve du fait que le flot () associé à cette EDO ,si on le voit comme une application qui est une fonction bijective, et je voudrais aussi connaitre la jacobienne par rapport à de sa fonction réciproque


Merci pour votre aide !
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[invite33c0645d]

A partir du moment où A est continue et localement lipschitzienne de la variable X, tu peux appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz

Intéresses-toi alors à et remarque que cette application est l'identité.

EDIT : Tu peux aussi voir qu'il y a homéomorphisme!

[titi07]

Bonsoir,
merci pour votre réponse mais je cherche à calculer la jacobienne du flot par rapport à la condition initiale...???

Si quelqu'un pourrait me guider, je lui serai reconnaissante...

Merci pour votre aide !
Cordialement

[invite33c0645d]

Pardon de répondre si tard.. la question n'a peut-être plus lieue d'être.

Déjà on peut remarquer que l'on a affaire à un système différentiel linéaire autonome. Ainsi, le flot peut se calculer directement et l'on a:



Ainsi, le jacobien par rapport aux conditions initiales n'est autre que "". Il est assez clair que l'application à différentier est linéaire de la variable \alpha. On en déduit que le jacobien cherché n'est autre que : .

En ce qui concerne l'application réciproque du flot, remplace t par -t

[A voir en vidéo sur Futura]

[titi07]

Bonjour,non ce n'est pas très grave !
merci pour votre réponse, mais justement le système n'est pas linéaire les "" sont des fonctions quelconques de

Cordialment,

[invite33c0645d]

J'avais remarqué mes erreurs, mais appraement je suis interdit de modification?! De ce fait, je n'ai pas pu modifier ce que j'avais écris.

En ce qui concerne ton problème, je ne pense pas avoir de réponse générique. Je crois qu'il faut se pencher au cas par cas. Déjà pour espérer que le flot soit différenciable, je crois qu'il est important de considérer des au moins C1. De mémoire, en regardant l'équation différentielle, on rencontre déjà de gros soucis.



Le flot est alors . Ce flot est définit sur:



Mentalement l'ensemble de définission de ce flot est tout ce qu'il y a sous l'hyperbole pour les abscisse négatives la droite verticale et tout ce qui est au dessus de l'hyperbole pour les abscisses positives (le tout modulé par des stricts partout). Et alors ?! Où est le problème ?

Dans tes notations, et avec mon exemple, on a qui est une application plus que dérivable! Eh bien le flot n'a aucune raison d'être différentiable. En effet son ensemble de définition n'est même pas ouvert dans !

Sans conditions supplémentaires, il n'y a aucune chance de répondre à la question. Il est possible de trouver une condition nécessaire à la différentiabilité du flot lorsque A est aussi différentible. Pour celà on suppose que le flot est différentiable, et l'on aboutit à une équation d'ordre 1 ou 2 sur le Jacobien que tu cherches, de mémoire l'équation est linéaire avec second membre, dépendant de la différentielle de A sur le flot(penser à la démonstration de Cauchy Lipschitz en terme de point fixe). Bref, il faut une quantité astronomique d'informations pour parler de la différentiabilité du flot, il faut le connaître (ce qui est beaucoup trop demander en général)...

[albanxiii]

Bonjour,

J'avais remarqué mes erreurs, mais appraement je suis interdit de modification?!

Les messages sont modifiables par leur auteurs pendant 5 minutes après leur publication.
Après ce délai, s'il y a besoin, il faut vous adresser à un modérateur et avoir une bonne raison (autre chose qu'une erreur à corriger).

Pour la modération.

[titi07]

Bonsoir,
Oui suite2 je vous comprends maintenant, est ce que je pourrai vous demander si vous pouvez me donner un exemple de second membre (A) (en 1 dimension ) qui me donne une solution prolongeable à tout R???

Merci encore pour votre aide.

[invite33c0645d]

Bonjour,
je ne crois pas avoir compris la question.
La question est de trouver une application A de sorte que le systeme differentiel:
admette des solutions prolongeables a l'ensemble de definition de A ?

Dans ce cas, prenez une application linéraire pour A. On a acces aux solution explicites

ATTENTION: J'ecris avec le portable, c'est pourquoi mon message risque de comporter pleins de fautes que je n'arrive pas a lire.

[titi07]

Bonsoir,
Oui c'est ça la question,mais je veux autre chose a part le linéaire, j'ai trouvé par exemple: et je cherche un autre exemple,pouvez vous m'en indiquer???

Merci encore

[invite33c0645d]

Voilà un exercice général te permettant de construire des tas d'exemples où les solutions maximales sont globales en dimension 1. On s'intéresse à l'équation:

Avec f une application de à valeurs dans vérifiant les hypothèses de Cauchy-Lipschitz.
Soit

On a alors:
(1) : Le système différentiel admet une unique solution maximale.
(2) : La solution maximale est définie sur l'intervalle où:

Dans ton exemple, . L'inverse de cette application n'est pas intégrable auvoisinage de l'infinie. Il s'ensuit que les solutions sont définies sur presque tout . Normalement je ne me trompe pas dans cet énoncé. Etes-vous sûr(e) que l'équation différetielle possède des solutions globales ? (Faites le mieux car c'est faux!!)

[titi07]

Bonsoir,je suis désolée pour ce retard,
au fait l’exemple que j'ai donné de ,me donne des solutions définies sur
Donc je reformule ma question en disant que je cherche les conditions que doit vérifiées (en dimension ) pour que le flot soit défini sur

Merci pour votre aide