Propagation d'erreurs expérimentales lors de l'inversion d'une matrice

[nawellee]

Bonjour à tous,

Je dispose d'une matrice A de taille N contenant des mesures expérimentales. Chaque mesure est connue avec une incertitude relative de x%.
J'ai besoin de la matrice A^-1 que je calcule sans problèmes puisque A est inversible. Mon problème est que j'aimerais determiner de façon analytique les incertitudes des coefficients de A^-1.
1. Est ce possible?

2. Si ce n'est pas possible, puis je majorer l'erreur sur les coefficents de A^-1?
Sur wikipedia ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Conditi...um%C3%A9rique) ) j'ai vu que le conditionnement défini par pourrait peut être m'aider. Mais je ne suis pas sûre.
Puis je dire que l'erreur sur les coeffients de A^-1 est majorée par ?


3. Existe-t-il des méthodes permettant de transformer une matrice A à fort conditionnement en une matrice A' à faible conditionnement mais avec la contrainte que A et A' ne soit pas "trop différentes" ?


J'éspère que quelqu'un pourra m'aider ou juste m'apporter quelque pistes de recherches...

Merci d'avance!
Nawellee
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[Dlzlogic]

Bonjour,
Je connais les règles de composition des erreurs, mais je n'utilise pas le calcul matriciel.
Si vous utilisez le tableau des coefficients des équations linéaires comme matrice pour résoudre le système, alors ou pourra parler la même langue.
Autrement dit, il faudrait revenir à la base de votre problème.

[leon1789]

Bonjour

Il me semble qu'il faut comment par clarifier le cadre de votre problématique. Je m'explique.

D'un coté, faire un calcul d'incertitude sur les coefficients (ou de majoration d'erreur) obtenus par des calculs numériques en machine est lié à la précision des opérations élémentaires et la méthode utilisée pour inverser votre matrice A.

Par ailleurs, pour établir la formule que vous citez sur wiki, il est supposé que les calculs sont réalisés avec une précision infinie (ce qui est plutôt contraire à la situation numérique en machine).

Quel est votre cadre d'étude ?

[nawellee]

Bonjour,

Merci beaucoup à tout les deux. Je vais donc essayer de clarifier mon problème.
Alors, tout d'abord, mon but n'est pas d'inverser un système, c'est-à-dire que je ne cherche pas un certain x défini par Ax=B (avec A une matrice).
Ensuite, je suppose que les calculs numériques sont faits avec une précision infinie.

Pour formuler autrement mon problème, je dirais que j'ai une matrice A contenant des données expérimentales mesurées avec une certaine incertitude. Les données physiques qui m'intéressent sont contenus dans la matrice . Je suppose que le calcul de a été fait avec une précision infinie mais j'aimerais savoir à combien s'élève l'incertitude sur .

Voici un exemple dont les calculs ont été réalisés avec matlab:

Soit la matrice A et la matrice A' qui est égale à A + des erreurs aléatoires (20% d'incertitude relative dans cette exemple)
et

Alors les inversions respectives donnent :
et

Donc pour cette exemple particulier voici l'écart en pourcentage entre et



Pour cette exemple Matlab "dit" que le conditionnement de la matrice A est k=18. Mais comme je n'ai pas très bien compris l'article wiki sur le conditionnement, je ne sais pas si ce k=18 peut m'aider à estimer ou majorer mon erreur sur

Désolé d'avoir été aussi longue mais j'éspère que mon problème est un peu plus claire maintenant.
Encore merci,
nawellee

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
En matière de calcul d'erreur, on utilise toujours les valeurs absolues et non les valeurs relatives.
Exemple simple : vous mesurez une distance avec plusieurs portées, c'est à dire que vous utilisez le même appareil de mesure plusieurs fois successivement, pour la simple raison qu'il n'est pas assez grand.
L'erreur commise à chaque portée est l'erreur d'appréciation, ou je ne sais quoi d'autre. Elle n'a rien à voir avec la longueur de l'appareil de mesure.
On peut utiliser la valeur relative, au bout du calcul, pour "se faire une idée".

D'autre part, que représentent vos opérations sur les matrices ? Quelle est la relation directe ou indirecte entre telle et telle valeur ?
Vous travaillez avec les matrices parce que c'est un outils de travail efficace. Si voulez faire du calcul d'erreur, il faut savoir l'opération que vous faites, quel que soit l'outil que vous utilisez. Vous pourrez ensuite faire ce calcul d'erreur à l'aide de l'outil matriciel, mais c'est un autre problème.
On classe les erreurs en 2 catégories, les erreurs systématiques et les erreurs accidentelles. Les erreurs systématiques se cumulent, les erreurs accidentelles se combinent quadratiquement.

[Tryss]

Pour cette exemple Matlab "dit" que le conditionnement de la matrice A est k=18. Mais comme je n'ai pas très bien compris l'article wiki sur le conditionnement, je ne sais pas si ce k=18 peut m'aider à estimer ou majorer mon erreur sur

Oui, le conditionnement permet de majorer l'erreur.

Tu as

[leon1789]

Dlzlogic, tu n'as pas l'impression de faire du HS de chez HS ?

[nawellee]

Merci à tous pour m'avoir aidé!
Je vais faire confiance à Tryss sur le fait que le conditionnement permet de majorer l'erreur.

nawellee