Probabilité et géométrie : lois de v.a continues

invite39e2954c · 25/05/2013, 18h13

Bonjour,

J'ai deux problèmes en préparation à l'examen que je n'arrive pas à résoudre. Je vous montre les sous-questions qui vont m'aider à résoudre toutes les autres.

Problème 1 :
Soit un segment de droite [AB] de longueur 2 et M le milieu de ce segment.
On choisit au hasard un point P sur [AM] et un point Q sur [MB], ces choix
étant indépendants. Soit la variable aléatoire D rendant la distance de P à Q.
a) Déterminer la fonction de répartition de D, sa densité de probabilité, son
espérance mathématique et sa variance.

Problème 2 :

On choisit un point P au hasard sur un segment [AB] de longueur L et on
définit une variable aléatoire Z = |AP|^2 + |PB|^2. On demande
a) la fonction de répartition de Z.
b) la densité de probabilité de Z.
c) l’espérance mathématique de Z.

J'ai pas mal gribouillé avant de venir ici.
Merci beaucoup de m'aider !

invite179e6258 · 26/05/2013, 09h36

pour 1) il faut faire la convolution de deux lois uniformes.

pour 2) c'est presque pareil, sauf que les lois ne sont plus uniformes. Du coup l'intégrale est un peu plus compliquée, enfin compliquée c'est trop dire...

**Amanuensis** · 26/05/2013, 10h06

Pour 2) ce n'est pas pareil que 1), il n'y a qu'une seule variable aléatoire, pas deux. Donc pas de convolution...

invite39e2954c · 26/05/2013, 16h18

Bonjour,

Donc pour la question 1) C'est:
F(t) = {0, si t<= 0; si t>2; * sinon}

On essaie de trouver * :
f(x, y) = {1, si (x,y) est dans [0,1] x [0, 2] ; 0, sinon)

* :
F(t) = P(q - p <t) = P(q < t+p)
=> F(t) =

Code:

Integrale (de 0 jusque 1) Integrale (de 1 jusque p+t) dq dp

Le problème c'est que ce n'est pas rigoureux, si p = 1, et que que q = x+t, il faut qu'on ait t<1, mais je ne sais pas comment le formuler mathématiquement ; donc quelles sont les vraies bornes de l'intégrale ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Amanuensis** · 26/05/2013, 16h34

dist(P,Q) = dist(P, M)+dist(Q,M) En notant X=dist(P, M) et Y = dist(Q, M) ce sont deux variables uniformes sur [0,1], et on cherche à caractériser leur somme.

Commencer par la moyenne et la variance, pour se mettre en jambes...

invite39e2954c · 26/05/2013, 20h32

Mais elles ne sont pas dans le même intervalle, donc il faut absolument passer par la double intégrale pour calculer la fonction de répartition, non?

Je ne vois pas trop ou vous vouliez en venir sinon.

invite39e2954c · 28/05/2013, 02h20

Aucune réponse ? Les indications ne m'aident pas vraiment, les intégrales que j'essaie (au pif !) donnent des résultats différents des réponses suggérées.

**Amanuensis** · 28/05/2013, 08h10

Envoyé par leoMercury

Les indications ne m'aident pas vraiment

Gênant... On ne peut pas refaire le cours sur un forum.

**gg0** · 28/05/2013, 18h18

Envoyé par leoMercury

Mais elles ne sont pas dans le même intervalle, donc il faut absolument passer par la double intégrale pour calculer la fonction de répartition, non?

Je ne vois pas trop ou vous vouliez en venir sinon.

"Mais elles ne sont pas dans le même intervalle" ??? Si tu parles des deux variables aléatoires, le lien avec des questions d'intervalles est incompréhensible; si tu parle des points P et Q, c'est "ils", pas "elles" et ça n'a rien à voir avec la musique.

Revois sérieusement ce qu'est une variable aléatoire (*), puis l'énoncé, puis le conseil très clair d'Amanuensis.

Cordialement.

(*) relis ce que veut dire "loi uniforme sur [0;1], entre autres.

invite39e2954c · 28/05/2013, 23h17

Les densités de x et y :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Les variables sont indépendantes donc, pour la densité conjointe :
$\text{[math]}$

Fonction de répartition :

F(t) = P((x+y) < t)
$\text{[math]}$

*:

$\text{[math]}$

Ce qui est faux. Le problème est dans les bornes de l'intégrale. D'habitude je raisonne géométriquement, mais là quelque chose m'échappe.

**Amanuensis** · 29/05/2013, 06h36

annulé... erreur

**Amanuensis** · 29/05/2013, 06h45

Envoyé par leoMercury

$\text{[math]}$

(...)mais là quelque chose m'échappe.

En partant de l'intégrale écrite comme

$\text{[math]}$

ça donne quoi?

invite39e2954c · 29/05/2013, 07h14

**gg0** · 29/05/2013, 09h09

Bonjour.

Le calcul n'est pas correct si t>1; or t varie de 0 à 2. L'expression donné est celle pour 0<t<1.
Un dessin pourrait aider, dans le carré 0<x<1; 0<y<1.

Cordialement.

NB : Avec la densité 'produit de convolution) ça se fait bien aussi.

**Amanuensis** · 29/05/2013, 10h56

Envoyé par leoMercury

Pour ajouter à ce qu'indique gg0, je n'ai pas mis f(y) pour rien. Vous le remplacez par "1", et c'est ça qui est incorrect; f(y) n'est pas égale à la fonction constante "1".

invite39e2954c · 29/05/2013, 17h54

J'ai trouvé en passant par la représentation géométrique, merci.

Si 0<t <= 1,
$\text{[math]}$
Si 1<t<=2,
$\text{[math]}$

Envoyé par Amanuensis

Pour ajouter à ce qu'indique gg0, je n'ai pas mis f(y) pour rien. Vous le remplacez par "1", et c'est ça qui est incorrect; f(y) n'est pas égale à la fonction constante "1".

J'avais vu, mais je n'arrivais pas à l'exprimer clairement.

Envoyé par gg0

Bonjour.

Le calcul n'est pas correct si t>1; or t varie de 0 à 2. L'expression donné est celle pour 0<t<1.
Un dessin pourrait aider, dans le carré 0<x<1; 0<y<1.

NB : Avec la densité 'produit de convolution) ça se fait bien aussi.

C'est une partie que nous n'avons pas vu en cours.

Sinon je me demande comment j'aurais pu calculer l'espérance et la variance avant la fonction de répartition la densité. Ou alors j'avais mal compris la suggestion de Amanuensis.

Ensuite, comment procéder si le problème est trop compliqué pour être représenté géométriquement. On trouve comment les bornes de l'intégrale ? Est-ce vraiment un raisonnement à l'intuition ?

invite39e2954c · 29/05/2013, 20h56

Je pose la question parce que je ne sais pas comment aborder le 2).. J'ai encore du mal à interpréter le problème.

**gg0** · 29/05/2013, 21h19

Bonsoir.

comment procéder si le problème est trop compliqué pour être représenté géométriquement.

A vue de nez, tu n'as pas beaucoup de possibilités, mais fouille un peu dans ton cours (nous, on ne le connaît pas). Et il est assez évident que tu n'avais pas vraiment cherché à définir la fonction de répartition avant de calculer.

Je pose la question parce que je ne sais pas comment aborder le 2)

Justement, il te faut définir la fonction de répartition et en déduire le calcul à faire ..

Cordialement.

Rappel : F_X(t)=P(X <= t).

**Amanuensis** · 29/05/2013, 21h26

Envoyé par leoMercury

On trouve comment les bornes de l'intégrale ?

Les bornes étaient correctes! C'est la fonction intégrée qui n'était pas correcte. Si on intègre sur un intervalle [a, b] une fonction créneau qui vaut 1 sur [c, d] et 0 ailleurs, on n'obtient pas b-a (ce que vous aviez fait) mais la longueur de l'intervalle [a, b] inter [c,d].

**Amanuensis** · 29/05/2013, 21h32

Envoyé par leoMercury

Sinon je me demande comment j'aurais pu calculer l'espérance et la variance avant la fonction de répartition la densité. Ou alors j'avais mal compris la suggestion de Amanuensis.

Le sujet était la somme de deux variables indépendantes, la moyenne est donc la somme des moyennes, et la variance la somme des variances. Les deux lois sont uniformes sur [0,1] leur moyenne est donc 1/2, et leur variance 1/3-1/4. D'où 1 et 1/6 pour la somme. Les calculer à l'avance était donc très simple, et permet une vérification de la loi trouvée par ailleurs.

invite39e2954c · 31/05/2013, 12h54

Pour la deuxième question, voilà ce que j'ai fait dans mes brouillons : Définir la variable aléatoire X = dist(A, P), ensuite, on doit chercher la fonction de répartition de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ .
Ensuite en cherche celle de la somme $\text{[math]}$ .

C'est bien ça ou j'ai mal interprété ? Parce que ça m'a donné beaucoup de calculs mais un résultat incorrect.

**Amanuensis** · 31/05/2013, 13h15

Trop compliqué (si tant est même qu'on s'en sorte, X² et (L-x)² n'étant pas indépendantes).

On a une variable X, et une f fonction transformant X en Y, f(x) = x²+(L-x)².

Pour la fonction de répartition, c'est

prob(Y>y) = prob(f(x)>y) = prob(X in f^{-1}(]-inf, y]))

Parce que ça m'a donné beaucoup de calculs mais un résultat incorrect

Probablement par une hypothèse d'indépendance plus ou moins cachée.

invite39e2954c · 31/05/2013, 17h10

Désolé mais j'ai mal compris.
La fonction de répartition, c'est ça :

$\text{[math]}$
?
Ça veut dire quoi le -inf dans l'intervalle ? Pourquoi c'est défini prob(Y>y) et non prob(Y<y) ?

**gg0** · 31/05/2013, 19h03

Il y a une erreur dans l'explication de Amanuensis. La fonction de répartition est :
$\text{[math]}$
A toi de finir le calcul.
Attention : f n'est pas une bijection ! Il s'agit bien ici d'image réciproque.

Cordialement.

**Amanuensis** · 31/05/2013, 19h34

Oops... Désolé pour ces < devenus >... Merci pour la correction.

invite39e2954c · 31/05/2013, 19h38

Merci beaucoup, je vais faire les calculs.
Une dernière question concernant 1) car ça fait des heures que je sèche =/.

Si AP et AQ sont les dimensions d’un rectangle, calculer la probabilité que
l’aire de ce rectange soit supérieure à 1/2 et inférieure à 3/2.

Ma solution :

Même chose pour les densités respectives de x et y, à part l'intervalle de y.
densité conjointe :
Les variables sont indépendantes, donc :
$\text{[math]}$

Fonction de répartition :

F(t) = P((x*y) < t) :

$\text{[math]}$

*:

$\text{[math]}$
Application :
probabilité = F(3/2) - F(1/2) = 0.931 - 0.193 = 0.738

La solution attendue : 0.58

Je dois encore me tromper dans la fonction de répartition, mais je ne vois pas.

**Amanuensis** · 31/05/2013, 19h55

Indépendamment du résultat, l'écriture de l'intégrale est incorrecte. Serait bien de la réécrire proprement.

Quand au résultat... Prenez la première intégrale, et x dans ]0, t/2[, alors il faut que y soit dans [1,2] inter [t/x, +infini[. Ce n'est pas [1,2] par exemple en prenant t=1 et x=1/2

invite39e2954c · 31/05/2013, 20h27

Envoyé par Amanuensis

Indépendamment du résultat, l'écriture de l'intégrale est incorrecte. Serait bien de la réécrire proprement.

Quand au résultat... Prenez la première intégrale, et x dans ]0, t/2[, alors il faut que y soit dans [1,2] inter [t/x, +infini[. Ce n'est pas [1,2] par exemple en prenant t=1 et x=1/2

Mais xy < t => y<t/x, ce n'est pas contradictoire pour l'intervalle de y ?
Je vais faire un dessin de ma solution géométrique sinon.

invite39e2954c · 31/05/2013, 20h44

Voilà mon interprétation géométrique. Désolé du double post.

**Amanuensis** · 01/06/2013, 08h13

Reprenons à la formule:

Envoyé par leoMercury

$\text{[math]}$

Des vérifications élémentaires montre d'emblée que le résultat est erroné. On s'attend à ce que F(2) vaille 1, et on trouve -1. Et pour la limite en 0, on trouve -1 aussi...

La même vérification montre que la formule initiale elle-même est erronée. Si on trouve bien cette fois

$\text{[math]}$

on a par contre pour la limite en 0 (attention abus de notation) :

$\text{[math]}$

Diagnostic: erreur dans l'intégrale, et erreur dans l'intégration...

Comme le raisonnement (non explicité) amenant à l'intégrale semble dans le principe correct, mais pas dans le résultat, je suggère que vous repreniez le raisonnement en le corrigeant là où il faut...

(indice : la deuxième intégrale n'est positive que pour t/x>1)

Probabilité et géométrie : lois de v.a continues

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