Problème avec les O et les o.

[gloups13]

Bonjour à tous,j'aimerais être sur d' une chose avant de commencer le problème.
On ne parle de o ou O qu'au voisinage d'un point ou de l'infini.
Un=O(Vn) --> Un/Vn est bornée.
Un=o(Vn) --> Un/Vn tend vers 0.
Un équivaut (Vn) --> Un/Vn tend vers 1.
Voila mon problème
Nature de la série numérique de terme général [(-1)^n*n^(1/2)+sin(n)]/n²
Donc pour commencer [(-1)^n*n^(1/2)]/n²=O(1/n^(3/2)). Pour cela je suis d'accord mais c'est la prof qui l'a trouvé pas mois.Et je ne vois pas comment on peut savoir à l'avance qu'il faut s'orienter sur cette voie et pas une autre.
Ensuite sin(n)/n²=O(1/n²)=o(1/n^(3/2)). La je vois pas pourquoi on a besoin du o. le O ne suffit-il pas?
et enfin d'après le critère de Riemann et le théorème de comparaison des séries à termes positif la série est absolument convergente donc convergente.
Merci de m'aider dans le choix des O ou des o.
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[topmath]

Bonsoir Gloups13 pour que vous économisiez un peut de temps voir ce liens Petit o et grand O .

[gg0]

Bonjour.

On cherche une convergence absolue, donc on met en valeur absolue, et la valeur absolue d'une somme est inférieure à la somme des valeurs absolues. D'où les deux parties, et ça devient évident, puisqu'on s'intéresse à n^(1/2)/n² qui vaut n^(-3/2) (formules des puissances) et à |sin(n)|/n² or |sin(n|<=1.

Il n'y a rien de mystérieux, seulement les critères vus en cours.

Cordialement.

NB : On se sert de O et o suivant ce qui est possible et ce qui arrange. mais pour n^(1/2)/n² un o n'est pas possible.

[gloups13]

Merci de cette réponse et désolé pour le retard. En fait c'était tout bête mais je me suis embrouillé tout seul.

[A voir en vidéo sur Futura]