Comparer plusieurs gaussiennes

[invite5a750395]

Bonjour,
j'ai besoin de résoudre le problème suivant :

Imaginons que j'ai plusieurs lois gaussiennes (plus de 2) de même écart type et de moyennes quelconques.

Je cherche à calculer la probabilité qu'une des gaussiennes donnée soit plus grandes que toutes les autres, par exemple pour i de 2 à n.

Le premier réflexe que j'ai eu c'est de décomposer l'intersection comme si c'était indépendant, mais ça ne l'est pas. Donc je vois pas comment travailler sur l'intersection de ces évènements.

Merci d'avance.
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[invited5b2473a]

Pour commencer, comment tu définis X1 >= X2 ?

[invite5a750395]

Comme c'est des variables réelles, je ne comprends pas trop ta question, l'évènement X1 >= X2 est l'évènement que la variable X1 prenne une valeur supérieure ou égale à la valeur de X2.

[gg0]

Bonjour.

P(X1 >= X2) dépend de la loi de (X1,X2), la loi conjointe. Donc sans connaissance de cette loi, il n'y a pas de réponse.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5a750395]

Pour deux lois X1 et X2 je pense que le problème est assez simple, il suffit de considérer la différence des deux : X1 - X2 qui est gaussienne de moyenne et d'écart type qu'on trouve facilement, et il suffit d'intégrer sur [0,+inf[.

C'est quand on prend plus de deux lois que ça commence à devenir compliqué.

[invite179e6258]

pour plusieurs c'est comme pour deux, mais gg0 a raison, il te faut connaître la loi conjointe. Si tu supposes que (X1,...,Xn) est un vecteur gaussien de moyenne et (matrice de) variance connues, il te suffit d'intégrer. Note que tu peux très bien avoir X1,.., Xn gaussiennes sans que la loi conjointe soit une loi gaussienne.

[invite5a750395]

La loi conjointe, on parle bien de la loi (X1, X2, ...Xn) ?

Cette loi c'est bien un vecteur gaussien (vu que tous les Xi sont des lois gaussiennes) non ? Donc on connait la loi du vecteur gaussien ?

[invite5a750395]

Et de quel genre d'intégrale tu parlais sur la loi conjointe ?

[gg0]

Pour deux lois X1 et X2 je pense que le problème est assez simple, il suffit de considérer la différence des deux : X1 - X2 qui est gaussienne de moyenne et d'écart type qu'on trouve facilement, et il suffit d'intégrer sur [0,+inf[.

C'est quand on prend plus de deux lois que ça commence à devenir compliqué.

Non, la différence de deux lois Normale n'a pas de raison d'être une loi Normale. Tu confonds avec le cas de deux variables indépendantes. Si elles ne sont pas indépendantes (et distinctes), la différence n'est pas gaussienne.

Cordialement.

[invite179e6258]

La loi conjointe, on parle bien de la loi (X1, X2, ...Xn) ?

oui

Cette loi c'est bien un vecteur gaussien (vu que tous les Xi sont des lois gaussiennes) non ? Donc on connait la loi du vecteur gaussien ?

non, ça ne marche pas comme ça. Ce qu'on sait c'est que pour un vecteur aléatoire X, si quel que soit le vecteur normé a, la variable aléatoire Y=a'X (la projection de X sur la direction a) est normale, alors X est normal. Mais la simple normalité des projections sur les vecteurs de base ne suffit pas.

[inviteea028771]

Un joli contre exemple :

Si X est une gaussienne, et Y = X avec probabilité 1/2, Y = -X avec probabilité 1/2

Alors X et Y sont des gaussiennes, mais X+Y n'est pas une gaussienne (même dégénérée) : P(X+Y = 0 ) = 1/2