Calcul des valeurs propres d'une matrice

[inviteb09b4bb0]

Bonjour,

J'aimerais votre avis sur ma réponse à l'exercice suivant :

Exercice :
Soit la matrice définie positive suivante :


dont une des valeurs propres est =16

Quelles sont les autres valeurs propres (à justifier) ?


Ma réponse :
Toutes les lignes de la matrice sont linéairement dépendantes donc la matrice est de rang 1, donc elle possède une seule valeur propre qui est =16.

J'ai aussi pensé à utiliser le fait que Tr(A)=Somme des valeurs propres, or Tr(A)=16=.
Mais cela permet seulement de dire que les autres valeurs propres sont nulles, pas qu'elles n'existent pas ... ou bien est ce que des valeurs propres nulles ou non existantes signifie la même chose ?


Merci d'avance.
-----

[invite179e6258]

une matrice symétrique a toujours des valeurs propres réelles, mais le fait que la somme d'un certain nombre de réels soit nulle n'implique pasqu'ils sont tous nuls.

[inviteb09b4bb0]

Cette matrice est définie positive donc ses valeurs propres sont réelles strictement positives.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Cette matrice est définie positive donc ses valeurs propres sont réelles strictement positives.

Positives seulement, pas strictement.

une matrice symétrique a toujours des valeurs propres réelles, mais le fait que la somme d'un certain nombre de réels soit nulle n'implique pasqu'ils sont tous nuls.

En effet, sauf qu'ici la matrice est définie positive. On sait donc que les réels dans la somme sont tous positifs. Dans ce cas, si l'un des réels vaut la somme, cela implique que les autres sont nuls.
(Ce qu'a voulu dire SaadT.)

A mon sens, les deux raisonnements SaadT sont corrects (avec une préférence personnelle pour le premier.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Mais

donc elle possède une seule valeur propre qui est =16.

est faux.

Cordialement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Mais cela permet seulement de dire que les autres valeurs propres sont nulles, pas qu'elles n'existent pas ... ou bien est ce que des valeurs propres nulles ou non existantes signifie la même chose ?
Merci d'avance.

Est-ce que le zéro n'existe pas ?