Suites et convergence

[Isis-mirka]

Bonjour à tous,
Je me permets de vous déranger car je suis de faire des exos sur les suites et j'aurais besoin de renseignements.
C'est l'exo 4 .

Au cas où l'énoncé n'est pas visible, voici le début de celui-ci:

Soit Un et Vn deux suites telles que Vn=Un+1-Un
Vérifier que si Un converge , alors Vn converge vers 0. Montrer que la réciproque est fausse en considérant la suite définie par : Un= Somme _{de k=1 à n} de 1/k pour nsupérieur ou égal à 1.


Dans ce qui suit, les limites sont pour n tendant vers +infini
J'ai dit que si Un convergeait, alors sa limite serait finie (on l'appelle l , un réel), on aurait donc lim de Un = lim de Un+1 =l
Et donc lim de Vn= l-l=0

pour la réciproque:
J'ai trouvé en remplaçant Un et Un+1 par leurs expressions que Vn=-1/(n+1)
donc limite Vn=0
donc , Vn convergerait vers 0

par contre je n'arrive pas à montrer que Un converge, c'est - à-dire, qu'elle admet une limite finie.


Merci d'avance
-----

[PlaneteF]

Bonjour,

par contre je n'arrive pas à montrer que Un converge, c'est - à-dire, qu'elle admet une limite finie.

C'est sûr que tu ne risques pas d'y arriver vu que c'est le contraire qu'il faut démontrer ... Relis plus attentivement l'énoncé.


Cordialement

[Isis-mirka]

J'ai compris l'énoncé de cette façon:
Tout d'abord, je vérifie que si Un converge , alors Vn converge vers 0
je suis parti du fait que Un convergeait (je le pose comme connu) pour démontrer que Vn convergeait
pour la réciproque je pensais faire pareil : en ayant Vn convergeant vers 0, je dois montrer que Un converge
N'est-ce pas la bonne façon de faire ?

merci pour vos réponses

[PlaneteF]

Edit : Croisement de messages

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[PlaneteF]

pour la réciproque je pensais faire pareil : en ayant Vn convergeant vers 0, je dois montrer que Un converge

J'insiste de manière insistante ... Relis l'énoncé plus attentivement ! (cf. texte en rouge dans ta citation)

[Isis-mirka]

Tout d'abord:
"je vérifie que si Un converge , alors Vn converge vers 0
je suis parti du fait que Un convergeait (je le pose comme connu) pour démontrer que Vn convergeait": cela est correct ?

Pour la réciproque;"Montrer que si Vn converge vers 0, alors Un converge"
Ici , si je part du fait que V converge vers 0 (ce que je peux démontrer si besoin) , c'est-a-dire que je le pose comme connu et admit, alors ne suis-je pas obligé de montre , aprtir de cetet affirmation , que Un convergeait ?
je suis déolé je suis un peu long à comprendre ...

Merci pour votre aide

[PlaneteF]

Pour la réciproque;"Montrer que si Vn converge vers 0, alors Un converge"

Non, non, tu lis l'énoncé de traviole, c'est exactement le contraire qu'il faut démontrer, à l'aide du contre-exemple que l'énoncé a eu l'extrême gentillesse de te donner !

Pour la 3e fois, relis attentivement l'énoncé qui dit, je cite : "Montrer que la réciproque est fausse (...)"


Cordialement

[Isis-mirka]

Je vais esayer de récapituler un peu:
On a la proposition suivante: Vérifier que si Un converge alors Vn converge vers 0
La réciproque serait alors Si Vn converge vers 0 alors Un converge (j'ai échangé le si et le alors)
Or, on a un exemple avec Un=.....et je dois m'en servir pour montrer que la phrase ci-dessus est fausse.
Je sais que Vn=Un+1-Un , donc avec l'expression de Un qu'ils m'ont gentillement donné, je trouve celle de Vn, c'est-a-dire, Vn=-1/(n+1)
et Vn converge vers 0 mais Un (vu que la éciproque est fausse ) ne dois pas converger


Je vous avoue etre perdu.
Comment dois-je répondre a cette question ?

Merci d'avance

[PlaneteF]

je trouve celle de Vn, c'est-a-dire, Vn=-1/(n+1)

(pas de signe moins)

mais Un (vu que la éciproque est fausse ) ne dois pas converger

Précision importante : ne doit pas converger pour les contre-exemples qui marchent comme celui donné par l'énoncé (c'est bien là la définition d'un contre-exemple), mais tu peux bien évidement avoir des suites pour lesquelles la réciproque est juste, prend par exemple comme suite une suite constante.

Comment dois-je répondre a cette question ?

En montrant que la suite donnée par l'énoncé ne converge pas.

[gg0]

Isis-Mirka,

une propriété du genre "Si A(x) alors B(x)" où les propriétés dépendent d'un élément inconnu (dans ton cas, la suite u_n, veut dire en fait : "Si quel que soit x (convenable) A(x) alors B(x)". Donc pour prouver qu'elle est vraie il faut prouver qu'elle est vraie quel que soit x, et si un x (convenable) ne permet pas d'avoir B(x) alors même qu'on sait A(x), alors la propriété est fausse. On appelle ça un contre exemple.
ici, tu as ton contre exemple, et une fois que tu as démontré que u_n diverge alors que v_n tend vers 0, il ne reste qu'à dire que la réciproque est fausse.

Cordialement.

[Isis-mirka]

Ok , c'est déjà plus clair.

Mais ma question est maintenant la suivante: comment montrer que la suite Un donnée par l'énoncé ne converge pas (ou qu'elle diverge ) ?
habituellement, on montre que la limite de cette suite est finie, ou encore en sachant u'elle est décroissante et minorée ou croissante et majorée mais la...

Merci d'avance

[PlaneteF]

Mais ma question est maintenant la suivante: comment montrer que la suite Un donnée par l'énoncé ne converge pas (ou qu'elle diverge ) ?

Une méthode classique pour ce genre de démonstration :

Tu considères :

Donc :

Ensuite tu intègres cette inégalité sur

Je te laisse poursuivre.

[Isis-mirka]

j'ai essayé : j'en suis à: 1/x <= ln|1+1/n|
Si c'est juste, que faire après cela ?

[PlaneteF]

j'ai essayé : j'en suis à: 1/x <= ln|1+1/n|
Si c'est juste, que faire après cela ?

Non ce n'est pas correct.

[Isis-mirka]

je ne comprend pas trop , car on intègre bien de n à n+1 non ?
nous ne posons peut etre pas le même calcul ....
quel calcul posez vous ?

[PlaneteF]

je ne comprend pas trop , car on intègre bien de n à n+1 non ?
nous ne posons peut etre pas le même calcul ....
quel calcul posez vous ?

[Isis-mirka]

ok merci , je vais recommencer avec votre calcul

[Isis-mirka]

cette fois je trouve: 1/n supérieur ou égal à : ln|1+1/n|
si c'est juste, qu'est ce que je fais de cette inégalité ?

[PlaneteF]

cette fois je trouve: 1/n supérieur ou égal à : ln|1+1/n|
si c'est juste, qu'est ce que je fais de cette inégalité ?

Ici il est préférable d'écrire sous la forme

Tu écris cette inégalité avec l'indice de sommation , ce qui donne :

Tu sommes "tout cela" de à et c'est quasi plié !

[Isis-mirka]

En sommant, on retrouve Un a agauche mais a droite, on a une soustraction de deux sommes pour ln(k+1) et ln(k)
Je sais que la limite de ln() est + infini en + infini , je sais aussi que la somme concernant le ln(1+k) est plus grande que l'autre, donc Un est positif mais cela ne m'avance guère

[Isis-mirka]

Je crois que j'ai trouvé: on tombe en fait à) droite avec ln(n+1) et quand on passe a une limite, on obtient + infini , donc Un tend aussi vers + infini ; elle diverge donc n'est-ce pas ?

Merci beaucoup

[PlaneteF]

Je crois que j'ai trouvé: on tombe en fait à) droite avec ln(n+1) et quand on passe a une limite, on obtient + infini , donc Un tend aussi vers + infini ; elle diverge donc n'est-ce pas ?

Oui, c'est çà.

[Isis-mirka]

Merci beacoup pour votre aide et pour voter patience!
Tant que j'y suis , j'ai un souci (c'est le sujet nommé calcul de sommes) avec un calcul
je dois trouver la valeur exacte de 0.297297297... * 3.363636...
gg0 étant déconnecté, il me peut pas m'aider (meme s'il en a deja fait beaucoup)
Auriez vous une idée sur la marche a suivre pour ce genre de question ?

[gg0]

0.297297297... * 3.363636...

[Isis-mirka]

oui j'ai bien remarqué cette répétition de 297 et 36 mais la question précédente était plus claire....
j'ai bien pensé à créer deux suites du style : Un=297^n et Vn =36^n mais....

[gg0]

Tiens !

avec le ,99999 tu n'avais pas utilisé une suite 9ⁿ pourtant !
Je t'avais conseillé de t'inspirer du cas précédent. Fais-le !

[Isis-mirka]

peut etre créer une suite comme ceci Un= 297*(1/1000)^n et Vn=36*(1/1000)^n mais comment faie pour 3.363636 avec le 3 du départ ?
suis sur la bonne voie ?
Merci

[gg0]

3,363636...=3+0,36+0,0036+0,00 0036+... est la somme d'une série bien définie.

Tu es sur la bonne vois. Pour le 3, tu peux le laisser de côté au début pour le rajouter à la fin.

Cordialement.

[Isis-mirka]

Soit R le résultat
R=somme de 0àn de Un *(somme de 0àn +3)
Avec Un=0.297*(1/1000)^n
et Vn=0.36*(1/100)^n

par contre je ne sais pas comment faire un produit de somme des termes de deux suites....

[gg0]

Pourtant, si tu calcules les valeurs exactes de tes deux séries, tu trouves facilement la valeur exacte de leur produit. Donc fais ce calcul ...

NB : Il est classique que les rationnels sont exactement les réels dont le développement décimal illimité est périodique.