TS : Suites et convergence.

[invitefe34e79f]

Bonjour à tous,

Pour lundi prochain, j'ai un dm de maths à faire et il me pose un petit problème :

On considère une suite ((a^n)/n!) avec a >1. Il faut montrer qu'elle converge vers 0.

J'ai commencé à faire quelque chose et je ne suis pas sur que cela soit très rigoureux.

Tout d'abord, j'ai noté Vn=((a^n)/n!) et j'ai étudié les variations de cette suite en faisant Vn+1-Vn : Je trouve qu'elle est décroissante dès que n>a-1. Voulant la limite en +oo de cette suite, je considère donc que pour des valeurs de n grand la suite est strictement décroissante.
Ensuite, je cherche un moyen de prouver qu'elle converge vers 0. Pour cela, j'utilise le théorème de cours qui dit qu'une suite décroissante et minorée est convergente. De manière évidente, cette suite est minorée par 0.

J'en conclus donc qu'elle converge et je dis que (Vn) converge vers un réel l, donc la suite (Vn+1) aussi. Or Vn+1=F(Vn) donc la suite (f(Vn)) converge vers F(l), or par uncité des limites, on a F(l)=l.

J'obtiens donc une équation à résoudre et après quelque changement mineur, j'obtiens : a^l=l! * l
Factorielle étant définie uniquement pour des entiers naturels, j'en déduis que l est un entier.
Ce genre d'équation, je ne sais pas la résoudre, par contre, j'ai essayé de raisonner :
Si l=0 alors 1=1 la suite (Vn) converge vers 0 indépendamment des valeurs de que a prend.
Si l=1, on obtient donc a=1
Si l=2, on obtient donc a²=4
etc....
Donc, on en déduit que pour l>1, on obtient une égalité qui dépend de a, donc on ne peut conclure de manière général quelque soit la valeur de a, ce qui est absurde, donc l=0.

Mon problème est dans ce raisonnement, je n'ai pas l'impression qu'il soit rigoureux, je pense qu'il est juste, et que dans l'idée ça fonctionne, mais je n'en suis pas totalement satisfait.

Si quelqu'un peut donc me confirmer ou m'infirmer que ce raisonnement soit juste ou faux, et m'aider à le corriger, je vous serais éternellement reconnaissant.

Bonne fin de journée !
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[invite88eaa547]

Salut,

des fois la solution graphique aide a mieux comprendre, ici c'est vraiment le cas !

Je t'encourage à la faire

[invitefe34e79f]

Je vois bien qu'avec un graphique elle converge vers 0 , mais ça ne me donne pas une preuve de cela (sauf si j'ai raté quelque chose).

[Flyingsquirrel]

Salut,

Tout d'abord, j'ai noté Vn=((a^n)/n!) et j'ai étudié les variations de cette suite en faisant Vn+1-Vn : Je trouve qu'elle est décroissante dès que n>a-1. Voulant la limite en +oo de cette suite, je considère donc que pour des valeurs de n grand la suite est strictement décroissante.
Ensuite, je cherche un moyen de prouver qu'elle converge vers 0. Pour cela, j'utilise le théorème de cours qui dit qu'une suite décroissante et minorée est convergente. De manière évidente, cette suite est minorée par 0.

D'accord.

J'en conclus donc qu'elle converge et je dis que (Vn) converge vers un réel l, donc la suite (Vn+1) aussi. Or Vn+1=F(Vn) donc la suite (f(Vn)) converge vers F(l), or par uncité des limites, on a F(l)=l.

Il est plus simple de conclure sans introduire une fonction auxiliaire (en plus ici dépend de ...). Il suffit d'écrire que puis d'utiliser les opérations sur les limites : Vers quoi tend ? Vers quoi tend ? Vers quoi tend ? Conclusion ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefe34e79f]

J'ai essayé mais malheureusement je n'ai aucun théorème pour dire que (a^n)/n! tend vers quoi que ce soit : En effet, j'ai une forme indéterminé de la forme +oo/+oo, et je n'arrive pas à lever l'indétermination en factorisant ou d'une autre manière.

[Flyingsquirrel]

J'ai essayé mais malheureusement je n'ai aucun théorème pour dire que (a^n)/n! tend vers quoi que ce soit :

Mais tu as montré une chose importante : la limite est finie ! et tendent donc tous les deux vers un nombre réel ...

[invitefe34e79f]

Donc, si je dis (Vn) converge vers un réel l, on a donc lim (Vn)=l,
lim a/(n+1)=0 car pour des valeurs de n grandes on a n+1>a, on a donc lim (Vn+1)=0*l=0 or lim (Vn+1)=lim(Vn) car la suite est décroissante et minorée par 0.
On conclus donc lim (Vn)=0.

J'ai bon là ?


Dans tous les cas, merci beaucoup, je n'avais pas pensé à cette option.

[Flyingsquirrel]

lim a/(n+1)=0 car pour des valeurs de n grandes on a n+1>a,

Ça ne tient pas. La fraction vérifie aussi cette condition mais elle tend vers 1 quand tend vers l'infini.

À mon avis la limite est suffisamment évidente pour qu'il ne soit pas utile de la justifier. Si tu veux le faire quand même tu peux invoquer les opérations sur les limites :

donc (opérations sur les limites)

Reste à multiplier par ...

on a donc lim (Vn+1)=0*l=0 or lim (Vn+1)=lim(Vn) car la suite est décroissante et minorée par 0.
On conclus donc lim (Vn)=0.

Oui.

[invitefe34e79f]

Ok, merci beaucoup ça m'a bien aidé


Bonne journée.