convergence de suites

[inviteb473d51f]

Bonjour tout le monde !
J'ai un petit exo qui me pose souci auquel il faut montrer que la suite (Un) converge si et seulement si elle est stationnaire (sachant que (Un) est une suite de réelle telle que pour tout n entier, Un ∈ Z

J'ai décidé de prouver la chose par une double implication (la réciproque étant évidente : si Un est stationnaire, elle converge vers Uo).
Cependant, pour le sens direct, j'ai un peu plus de mal, du fait que je ne vois pas du tout comment me servir de l'hypothèse que : "pour tout n entier, Un ∈ Z".
J'ai par ailleurs essayer une démonstration par l'absurde en vain

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur le sujet ?
Merci d'avance
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[breukin]

Avez-vous fait un dessin pour comprendre ce qui se passe ?

[inviteb473d51f]

Avez-vous fait un dessin pour comprendre ce qui se passe ?

Je n'y avais pas penser : ça permet effectivement de voir le problème sous un autre angle mais je ne suis pas sûr de l'exactitude de mon dessin (étant donné que j'arrive à dessiner une suite à valeurs dans Z convergente et qui n'est pas stationnaire ...)

Sachant que la suite est convergente elle est bornée et ce que j'ai dessiné, c'est une suite qui ressemble au graphe de E(x) et où la suite converge vers un a∈ Z quand n est assez grand .

[invite899aa2b3]

Bonjour.
Quelle est "ta" définition de convergence d'une suite?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Salut,

la réciproque étant évidente : si Un est stationnaire, elle converge vers Uo.

Pas forcément. La suite définie par pour tout est stationnaire mais ne converge pas vers .

[inviteb473d51f]

Salut,

Pas forcément. La suite définie par pour tout est stationnaire mais ne converge pas vers .

Je suis d'accord mais ici, la suite Un est stationnaire (et non pas stationnaire à partir d'un certain rang, non ?)

[breukin]

Evidemment, il faut entendre "stationnaire" comme "constante à partir d'un certain rang" !
"Stationnaire à partir d'un certain rang" est un pléonasme.

Bref, une suite à valeurs entières est convergente si et seulement si elle est constante à partir d'un certain rang, voilà ce qu'il convient de démontrer.

Si un sens est évident, l'autre consiste à partir d'une définition formelle de la convergence (pour tout epsilon, il existe...), et de l'appliquer à epsilon = 1/2.
Il faut prendre la définition qui ne fait pas intervenir explicitement la limite.

[inviteb473d51f]

Je le conçois.
Pendant un moment, j'ai eu peur pour la réciproque ...
Sinon pour le sens direct, je suis reparti de la définition d'une suite convergente avec les ε et j'obtiens | U(n+1) - Un | < 2ε.
donc en prenant ε = 1/4 (par exemple) et on a : | U(n+1) - Un | < 1/2
et comme U(n+1) - Un qui est dans Z, leur différence est nulle et je conclus !

merci beaucoup