similitude

[invite5e9ca434]

Bonjour,
j'ai un exercice de spé sur les lieux geometriques avec les similitues qui me pose quelque probleme.
enoncé:
dans le plan orienté OAB triangle rectangle en tel que (OA,OB)=pi/2.
delta est une droite variable passant par O.
A' et B' sont les projetés orthogonaux d A et B sur delta on note s la similitude directe telle que s(o)=A et s(b)=o

1)determiner l'angle de s
2)demontrer que le centre k de s appartient aux cercles de diametre [oa] et [ob]
en déduire que k est le pied de la hauteur du triangle OAB issue de O.
3)on appelle d la droite passant par B orthogonale a delta
a)determiner les images par s de d et delta. en deduire que s(B')=s(A')
b)démontrer alors que le cercle de diametre A'B' passe par un point fixe quand delta varie .

1)je trouve pi/2

2)je pense qu'il faut calculer le rapport de la similitude et utiliser le fait que K est le point invariant c'est a dire que s(K)=K d'ou r le rapport de la similitude est egale a r=KA/KO et r=KO/KB
cependant je n'arrive pas a calculer le rapport et a en deduire que K est le pied de la hauteur

par contre pour la 3 je n'arrive pas a demarer
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[US60]

Bonjour

1) O a pour image A et B a pour image O donc ( cours)
l'angle est mes ( vect OB,vectAO)=Pi/2 (mod2pi) voir dessin

2) Par cette similitude de centre K on a O " donne A " et B " donne " O donc mes (vectKO, vectKA) = Pi/2 ( mod 2pi )
et mes ( vectKB,vectKO)=pi/2 ( mod 2pi)
Donc K est sur le demi cercle de diamètre [OA] contenu dans le demi plan de frontière (OA) et contenant B ET est sur le demi cercle de diamètre [OB] de frontière (OB) et contenant A donc K est le point d'intersection de ces 2 demi plans ..............

[US60]

Ces deux demi cercles !!! excuse me

[invite5e9ca434]

j'avais pas fait comme sa par contre peut tu me donner une piste pour la question 3 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[US60]

Image de s et delta par cette sim
cette image est une droite passant par l'image d'un point de cette droite donc par l'image de B qui est O....et faisant un angle de pi/2 , c'est donc .....DELTA
Image de delta par s c'est une droite....même raisonnement...

[invite83f03d71]

3) a)
* A' appartient au cercle de diamètre [OA]
donc le traingle OAA' est rectangle en A'
alors (AA') est perpendiculaire à (OA')
donc à Δ car A' est le projeté orthogonal de A sur Δ
de plus, s(O)=A
donc (AA') est l'image de Δ par s.
(d) est la perpendiculaire à Δ passant par B
et B' est le projeté orthogonal de B sur Δ
donc (BB') et Δ sont perpendiculaires
de plus, s(B)=O
donc Δ est l'image de d par s.
* On en conclue que B', O et A' sont alignés
A' appartient au cercle de diamètre [OA]
donc OAA' est rectangle en A avec A appartient à Δ
Soit B''=s(B')
B'' est l'image de B' par s
or B' appartient au cercle de diamètre [OB]
donc OBB' est rectangle en B avec B appartient à (d)
de plus, s(B)=O, s(O)=A et s(B') =B''
donc le trianlge OAB'' est rectangle en B'' avec B'' appartient à l'image de (d), Δ
donc B''=A'
alors A' est l'image de B' par s
d'où s(B')=A'

[invite83f03d71]

3) b)
s(B')=A'
donc (vec(B'K),vec(KA'))=π/2
donc le triangle B'KA' est rectangle en K
d'où K appartient au cercle de diamètre [A'B']
Et voilà !

[US60]

3) a)
* A' appartient au cercle de diamètre [OA]
donc le traingle OAA' est rectangle en A'
alors (AA') est perpendiculaire à (OA')
donc à Δ car A' est le projeté orthogonal de A sur Δ
de plus, s(O)=A
donc (AA') est l'image de Δ par s.
(d) est la perpendiculaire à Δ passant par B
et B' est le projeté orthogonal de B sur Δ
donc (BB') et Δ sont perpendiculaires
de plus, s(B)=O
donc Δ est l'image de d par s.
* On en conclue que B', O et A' sont alignés
A' appartient au cercle de diamètre [OA]
donc OAA' est rectangle en A avec A appartient à Δ
Soit B''=s(B')
B'' est l'image de B' par s
or B' appartient au cercle de diamètre [OB]
donc OBB' est rectangle en B avec B appartient à (d)
de plus, s(B)=O, s(O)=A et s(B') =B''
donc le trianlge OAB'' est rectangle en B'' avec B'' appartient à l'image de (d), Δ
donc B''=A'
alors A' est l'image de B' par s
d'où s(B')=A'

On en conclut .....

[US60]

Donc comme delta varie , A' et B' ne sont pas fixes mais le cercle de diamètre [A ' B ' ] passe toujours par K centre de similitude donc est fixe .