[1°S] Suites (exprimer un en fonction de n)

inviteb4ebd1a1 · 13/03/2010, 13h43

Bonjour à tous.

J'ai un petit problème sur mon exercice de maths. J'espère que vous pourriez m'aider.

Voici l'énoncé

Une personne reçoit 30 000 euros en héritage. Le 1er janvier 2005, elle a placé cette somme à intérêts composés. ( les intérêts sont calculés sur le capital de l'année précédente) au taux annuel de 7,5%.

On pose $u_0 = 30 000$ . on désigne par $u_n$ la somme dont elle dispose le 1er janvier de l'année (2005 + n).

J'ai montré que cette suite était géométrique de 1er terme $u_0 = 30 000$ et de raison $q = \frac{107,5}{100}$
Ainsi $u_{n+1} = u_n \frac{107,5}{100}$

Je dois maintenant exprimer $u_n$ en fonction de $n$ mais je ne sais pas comment faire. Pouvez-vous m'aider?

Merci par avance.

invitec17b0872 · 13/03/2010, 13h49

Bonjour,

Les termes d'une suite géométrique $(U_n)$ de raison q vérifient $U_n=U_0.q^n$ .

Vous devriez retrouver cette formule (et sa démonstration) dans votre cours.

Elle ressort assez facilement si vous essayer par exemple de calculer les premiers termes de la suite.

Bon courage

invite2bc7eda7 · 13/03/2010, 13h50

Bonjour,

il me semble que ton cours de maths te dit quelque chose du style

pour une suite géometrique u, tu as deux facons de l'exprimer:

soit de facons recurrente : $u_{n+1}=q*u_n$ où q est ta raison

soit en fonction de n : $u_n=u_{terme initial}*q^{n-terme inital}$ où q est encore la raison...

donc a toi d'adapter, bonne apres midi

Mystérieux1

inviteb4ebd1a1 · 13/03/2010, 13h52

Merci de m'avoir répondu aussi rapidement, ayant prêté mon cahier de cours je n'avais plus mes formules sous les yeux. Cela dit j'étais censé la connaître...

Merci de m'avoir aidée

Bonne journée

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteb4ebd1a1 · 13/03/2010, 21h16

J'ai encore un petit problème

Je dois exprimer $U_n$ en fonction de n sachant que
$U_0 =1$
$2U_{n+1} =U_n -1$

$V_n$ est la suite géométrique de raison q =1/2 et de premier terme $V_0 =2$ définie pour tout n de N par $V_n =2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$

et que $V_n = U_n + 1$

Pouvez vous m'aider?

Merci

US60 · 13/03/2010, 23h07

Un=Vn-1=2(1/2)^n -1=1/^2^(n-1) -1

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 12h42

Merci de m'avoir répondu.

Est-ce que à partir de cette formule je peux étudier le sens de variation de la suite (Un) ? car elle n'est ni arithmétique ni géométrique non?

US60 · 14/03/2010, 12h52

Comme Un = Vn -1 la variation de ( Un) est la même que celle de (Vn ) ici ( Vn)
est décroissante donc (Un) aussi....

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 14h04

merci beaucoup =)

je dois aussi trouver le plus petit entier positif n tel que $U_n +1 < 0,0001$

Comment puis-je faire?

Merci

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 14h12

en fait j'obtiens

$20000 < 2^n$

j'en déduis a force d'essayer que n =15 mais c'est pas très mathématique non ?

invite83f03d71 · 14/03/2010, 14h17

Un+1<0,0001 équivaut successivement à:
Vn-1+1<0,0001
Vn<0,0001
2*(1/2)^n<0,0001
(1/2)^n<0,00005
ln((1/2)^n<ln(0,00005)
n*ln(1/2)<ln(0,00005)
n<ln(0,00005)/ln(1/2) (environ n<14,24)
donc n=14

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 14h20

merci de me répondre la notation in signifie inverse?

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 14h24

en regardant sur internet j'ai vu que c'était le Logarithme naturel... que je n'ai pas encore appris en classe je suis juste en 1°S

invite83f03d71 · 14/03/2010, 14h25

ah oui tu est en 1ère
ln c'est la fonction logarithme népérien
comme tu n'as pas vu ça tu peux mettre:

Un+1<0,0001 équivaut successivement à:
Vn-1+1<0,0001
Vn<0,0001
2*(1/2)^n<0,0001
(1/2)^n<0,00005
n=14 (tu traces la suite (1/2)^n sur ta calculatrice et tu trouvera 14, il n'y a pas d'autre moyen)
tu peux le faire, c'est autorisé jusqu'en terminale S une fois le chapitre logarithme népérien vu.

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 14h27

D'accord merci beaucoup de m'avoir aidée.

Bonne journée

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 14h37

J'ai juste une dernière petite question,

je dois calculer

$S_n = \sum_{k=0}^{k=n} U_k$

Comment puis-je faire sachant que U n'est ni géométrique ni arithmétique.

US60 · 14/03/2010, 14h41

Sn = ( Vo - 1) + ( V1 - 1 ) +.....................+( Vn - 1)=
Vo+V1+...........+Vn - (n+1) la somme des Vi c'est la somme des n+1 premiers termes de la SG vue avant , donc appliquer la formule de la somme//

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 14h56

Mais si j'appplique la formule de la somme ca me donnera la somme des n premiers termes de la suite Vn pas de la suite Un ?

US60 · 14/03/2010, 15h00

La somme des Un est égale à la somme des Vn ( calculée avec la formule de cours ) moins ( n+1) !!!

US60 · 14/03/2010, 15h01

Pas des n premiers mais des n+1 premiers , de 0 à n il y a n+1 nombres

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 15h03

Merci. Et dans ma somme j'aurais toujours une expression en fonction de n c'est normal?

US60 · 14/03/2010, 15h07

Bien sûr la somme varie avec n ce qui est normal car le nombre de Un augmente si n augmente...

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 15h08

Ok alors je trouve

Sn = -n + 3 -4 *[(1/2)^n]

Pouvez-vous me dire si c'est juste svp?

inviteb4ebd1a1 · 14/03/2010, 15h49

Petite rectification

Sn = -n + 3 -4 *[(1/2)^n+1]

J'ai vérifié en calculant les quelques premiers termes de la suite (Un) tout correspond.

Merci à tous d'avoir pris le temps de m'aider.

Bonne journée

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