Bonjour,j'ai un exercice à faire en arithmétique et voilà j'ai répondu à la plupart des question la moitié environ,mais à partir de la question 4) c'est le trou noir,quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait?Merci d'avance
1)En supposant que le phénomène perdure,calculer le nombre d'habitants pour les quatre années,à venir.
Réponse:On me donne U0=40000,ensuite pour 2001 jusqu'à 2004 je fais
U1=U0-(10/100)U0+5000=U0(1-10/100)+5000=U0*0.9+5000=40000*0. 9+5000=36000+5000=41000
U2=U1-(10/100)U1+5000=U1(1-10/100)+5000=U1*0.9+5000=41000*0. 9+5000=36900+5000=41900
U3=U2-(10/100)U2+5000=U2(1-10/100)+5000=U2*0.9+5000=41900*0. 9+5000=37710+5000=42710
U4=U3-(10/100)U3+5000=U3(1-10/100)+5000=U3*0.9+5000=42710*0. 9+5000=38439+5000=43439
2)a)Si l'on note Un le nombre d'habitants n années après l'an 2000,montrer que l'expression de Un+1 en fonction de Un est: Un+1=0,9*Un+5000
Réponse:La valeur Un+1 est égale à Un moins 10% plus 5000 de cette valeur,soit:
Un+1=Un-10/100*Un+5000=Un(1-10/100)+50…
b)La suite (Un) est-elle arithmétique?
La suite(Un) est-elle géométrique?
Réponse:Non,la suite(Un) n'est pas arithmétique.Car,si l'on regarde les trois premiers termes de la suite,on voit que l'on ajoute 1000 pour passer de U0 à U1 et 900 pour passer de U1 à U2.Ce n'est dont pas constant.
Non,la suite n'est pas géométrique.Car,si l'on regarde les trois premiers termes de la suite,on voit que le quotient U1/U0 est différent du quotien U2/U1.En effet U1/U0=41000/40000=1,025 alors que U2/U1=1,022
3)On voit que la population semble augmenter,et on voudrait savoir si elle va atteindre(ou dépasser)50000 habitants et si oui,quand.
La suite (Un) n'étant pas très facile à étudier,on s'intéresse au nombre d'habitants qu'il manque pour faire 50000 habitants.
Réponse:En 2001,R1=R0-(10/100)R0=R0(1-10/100)=R0*0.9=9000
En 2002,R2=R1-(10/100)=R1(1-10/100)=R1*0.9=8100
En 2003,R3=R2-(10/100)=R2(1-10/100)=R2*0.9=7290.
4)On note Rn le nombre d'habitants manquant n années après l'an 2000 pour faire 50000 habitants.
a)Exprimer Rn en fonction de Un et Rn+1 en fonction de Un+1
Réponse:Au rang n, Rn c'est le nombre d'habitants qui manquent pour arriver à 50 000 et u(n) c'est le nombre d'habitants cette année là,soit: R(n)=50 000-Un
Rn+1 c'est le nombre d'habitants qui manquent pour arriver à 50 000 moins Un+1 soit: R(n+1)=50 000-U(n+1)
A l'aide de la question 2)a) montrer que:
Rn+1=0,9*Rn
Réponse:R(n+1)=0.9(50 000 -u(n))
En déduire la nature de la suite (Rn) et l'expression de Rn en fonction de n.
Réponse:C'est la définition par récurrence d'une suite géométriquen multuplie chaque terme par une constante pour obtenir le terme suivant.La suite (Rn) est donc une suite géométrique de raison 0,9.
A partir d'ici je bloque..
b)Combien manquera-t-il d'habitants en 2010 pour faire 50000?(on arrondira)
c)Combien y aura-t-il d'habitants en 2050?(on arrondira)
Pourra-t-on dépasser les 50000 habitants ?Si oui,en quelle année?
5)A partir de 40000 habitants,il faut ouvrir une classe nouvelle d'école primaire par tranche de 2000 habitants supplémentaires.
Indiques les années où il faudra ouvrir une nouvelle classe.
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idem pour 2050