Bonjour tout le monde !
J'ai un leger soucis en mathsavec une amie on essaye de resoudre ce DM mais rien n'y fait nous bloquons pouvez vous nous aider ?
Alors voila l'exercice :
Dans le plan muni du repère orthonormal (O ; i ; j ), on considère la parabole P d'équation y = x² .
On se propose de calculer l'aire A du domaine (je pense que tu vas le trouver sur ton forum) limité par la courbe P, l'axe des abscisses et la droite d'équation x = 1.
1- Soit I, J, et K les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (1 ; 1) et (0 ; 1).
En remarquant que le domaine ? Est inclus dans le rectangle OIJK, en déduire que 0 < A < 1.
2- On partage le domaine ? En deux «*tranches*» verticales T' et T'' de même longueur ½ et d'aires respectives A' et A''.
Par un procédé analogue à celui de la question précédente, justifier les encadrements :
0 < A' < 1/8 et 1/8 < A'' < ½ .
En déduire que 1/8 < A < 5/8.
3- Soit n un entier supérieure à 2.
On partage le domaine ? En n «*tranches verticales*» T1, T2, ..., Tn de largeur 1/n.
On désigne par A1 l'aire de la tranche Ti pour tout entier i compris entre 1 et n.
En encadrant la «*tranche*» Ti entre deux rectangles, justifier que (i-1)²/n(3) < A1 < i²/n(3)
1²+2²+....+(n-1)²/n(3) < A < 1²+2²+....+n²/n(3)
4- On désigne par (un) la suite définie, pour tout entier n>1, par un = 1²+2²+...+n²/n(3)
En utilisant le résultat de la question précédente, démontrer que 0 < un-A < 1/n.
En déduire que la suite (un) converge vers le réel A.
5- Le but de cette question est de calculer un en fonction de n.
a) Déterminer un polynôme P de degré 3 tel que, pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x²
b) En ajoutant les égalités obtenues en remplaçant successivement x par 1,2, ...., n, démontrer que :
1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6
c)En déduire que un = 1/6(1+1/n)(2+1/n)
6- En déduire la valeur de A.
Voila c'est un peu long si vous pouviez nous aider :$
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