Fonction de IR^n dans IR

[invite47c02d3b]

Je cherche une fonction P : IR^N ---> IR telle que x. (nabla P) = 0 pour tout x =(x_1, x_2,...,x_N) dans IR^N (N supérieur ou égal à 2). En fait, en passant aux coordoonées polaires (r, theta) dans le cas N =2, on trouve que ce type de fonction ne dépend pas de r. Mais, les fonctions trouvées ont un problème de differentiabilité en 0. Peut-on trouver une fonction différentiable partout?

Remarque: nabla P = gradient P.
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[inviteea028771]

Je cherche une fonction P : IR^N ---> IR telle que x. (nabla P) = 0 pour tout x =(x_1, x_2,...,x_N) dans IR^N (N supérieur ou égal à 2). En fait, en passant aux coordoonées polaires (r, theta) dans le cas N =2, on trouve que ce type de fonction ne dépend pas de r. Mais, les fonctions trouvées ont un problème de differentiabilité en 0. Peut-on trouver une fonction différentiable partout?

Remarque: nabla P = gradient P.

Il me semble qu'une telle fonction devrait être constante.

Une idée, c'est effectivement de voir qu'elle est constante sur les demi-droites partant de 0, puisque le gradient est orthogonal à cette direction (donc la dérivée dans la direction de la demi-droite est nulle). Et ensuite, si la valeur sur deux demi-droites est différente, la fonction n'est pas continue en 0