Fonction dans H^1

invite3799b2e8 · 28/07/2007, 17h05

Bonjour,

Je n'arrive pas à montrer que la fonction définie sur la boule unité de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , est dans $\text{[math]}$ ( 0<k<1/2 et ||.|| désigne la norme euclidienne )

Je n'arrive déjà pas à montrer qu'elle est dans $\text{[math]}$

Pourriez-vous m'aider ?

Merci.

**FonKy-** · 28/07/2007, 18h11

Tu peux rappeler ce que sont H1 et L2 ? merci

FonKy-

invite3799b2e8 · 28/07/2007, 18h18

Oui, bien sur :

$\text{[math]}$ , c'est de carré intégrale.

$\text{[math]}$ c'est : u dans $\text{[math]}$ , et les $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$

Je voudrais donc déjà commencer par montrer que u est dans L^2, c'est à dire que u² est intégrable sur la boule unité, mais j'y arrive pas ..
Merci en tout cas de t'intéresser à mon post

invite39606136 · 28/07/2007, 18h34

sa ressemble beaucoups aux integrales de rieman ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**rajamia** · 28/07/2007, 18h39

Envoyé par Rouliane

Bonjour,

Je n'arrive pas à montrer que la fonction définie sur la boule unité de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , est dans $\text{[math]}$ ( 0<k<1/2 et ||.|| désigne la norme euclidienne )

Je n'arrive déjà pas à montrer qu'elle est dans $\text{[math]}$

Pourriez-vous m'aider ?

Merci.

bonjour,
essaie de majorer l'intégrale que tu as en utilisant l'inégalité de cauchy chwarz.
cordialement

invite4b9cdbca · 28/07/2007, 18h46

Bonsoir

Les résultats usuels sur l'intégrabilité des fonctions usuelles (1/x^k entre 0 et 1) ne peuvent-ils pas t'aider ?

invite3799b2e8 · 28/07/2007, 18h57

ah ben oui, effectivement, on a $\text{[math]}$ avec 0<2k<1 , donc u² est intégrable sur B.

C'était juste ça ?

Je vais réfléchir pour les dérivées

invite3799b2e8 · 28/07/2007, 19h47

J'ai essayé de montrer que les dérivées sont dans L^2.

je trouve que : $\text{[math]}$

seulement, l'exposant du dénominateur pose problème ici... et je vois pas trop comment faire

**FonKy-** · 29/07/2007, 00h09

Salut, je voulais savoir de quel niveau est cet exercice, et aussi si c'était possible de détailler un peu vos calcul.

Merci, FonKy-

invite4b9cdbca · 29/07/2007, 13h23

Envoyé par FonKy-

Salut, je voulais savoir de quel niveau est cet exercice, et aussi si c'était possible de détailler un peu vos calcul.

Salut
Je pense que cet exercice peut être abordé avec des connaissances de spé ou L2 (intégrales impropres et fonctions à plusieurs variables)

invite3799b2e8 · 29/07/2007, 13h29

oui effectivement des connaissances de spé suffisent pour ce type de question.

invitefcdf698a · 29/07/2007, 18h41

Bonjour,

N'oubliez pas que vous raisonnez dans $\text{[math]}$ donc il faut faire attention à la densité. Les conditions d'intégrabilité de Riemann changent avec la dimension! Pour voir ce qui se passe on peut passer en coordonnées sphériques: $\text{[math]}$ .

On a :

$\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ .

Pour la dérivée il suffit de montrer que $\text{[math]}$

Mais
$\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$ donc (critère de Riemann à 1 dimension) la fonction est bien de carré intégrable.

invitefcdf698a · 29/07/2007, 19h33

Pour revenir au problème posé, il me semble qu'il ne sufffit pas de dériver presque partout puis de montrer que la dérivée est bien dans $\text{[math]}$ : il faut faire attention aux discontinuités. Le raisonnement précédent est valvable si $\text{[math]}$ est bien la dérivée au sens faible de u (il y a un problème en zéro, et il ne suffit pas que la fonction soit dérivable presque partout pour être dérivable au sens faible).

Pour cela, faire une intégration par partie pour $\text{[math]}$ sur la boule unité privée de la boule centrée en zéro et de rayon $\text{[math]}$ (on a le droit car sur ce domaine $\text{[math]}$ la fonction est régulière) :

$\text{[math]}$

On montre que le deuxième terme tend vers zéro avec $\text{[math]}$ et finalement en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient une majoration de la forme:

$\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ d'après la majoration sur les intégrales de Riemann faite précédemment. Finalement $\text{[math]}$ et on a même montré que sa dérivée au sens faible était $\text{[math]}$

invite3799b2e8 · 29/07/2007, 21h48

Merci beaucoup !

C'est effectivement pas du tout trivial .

Par contre, elle vient d'où la formule (dans votre 2ème message ) qui fait intervenir la frontière de B ?

**FonKy-** · 30/07/2007, 01h26

Envoyé par Rouliane

oui effectivement des connaissances de spé suffisent pour ce type de question.

oula ca voudrait dire que je dois savoir faire tout ca ??? je pense que c tres limite pour pas dire que ca dépasse le programme .. a voir les formules de jacky =)

Cela dit j'aime beaucoup la méthode de riemann ou faut passer en sphérique, tres pratique

mais pour $\text{[math]}$ tu l'a dans l'os je suppose

Merci, FonKy-

**FonKy-** · 30/07/2007, 01h36

Envoyé par Rouliane

J'ai essayé de montrer que les dérivées sont dans L^2.

je trouve que : $\text{[math]}$

seulement, l'exposant du dénominateur pose problème ici... et je vois pas trop comment faire

Re, tu as l'air plus au point que moi sur le sujet, mais personnellement je trouve:

$\text{[math]}$

n.b: ca change pas beaucoup de choses pour la suite peut etre

Cordialement, FonKy-

invitefcdf698a · 30/07/2007, 03h15

La formule qui fait intervenir le bord de B est la formule de Stokes (ou de Green, je ne me souviens jamais). Il s'agit de l'intégration par parties dans $\text{[math]}$ : le terme de bord est l'équivalent du crochet à 1 une dimension.

$\text{[math]}$

Je crois que l'étude des espaces $\text{[math]}$ se fait en licence ou maîtrise. C'est vrai qu'apparemment tout pourrait se faire avec des outils de spé, mais il vaut mieux avoir fait un peu d'intégration de Lebesgue. Donc si vous êtes en spé, pas de panique!

invite3799b2e8 · 30/07/2007, 10h29

oui bien sur c'est la formule de Green, merci !

invite3799b2e8 · 30/07/2007, 10h39

Par contre je vois pas trop comment la formule suivante :

$\text{[math]}$

Nous permet de justifier que la dérivée au sens faible est dans $\text{[math]}$

Faudrait avoir un carré dans le terme de gauche, non ?

invite3799b2e8 · 30/07/2007, 10h55

une autre chose que je comprends pas : pourquoi on a pas de cos(phi) dans le Jacobien, lors du passage en coordonnées sphériques ?

désolé pour toutes ces questions ...

invitefcdf698a · 31/07/2007, 05h46

Au niveau de l'intégrale il y a effectivement un petit oubli du $\text{[math]}$ ... désolé

Mais ça ne change pas le résultat.

Envoyé par Rouliane

Par contre je vois pas trop comment la formule suivante :

$\text{[math]}$

Nous permet de justifier que la dérivée au sens faible est dans $\text{[math]}$

Faudrait avoir un carré dans le terme de gauche, non ?

C'est un point un peu délicat mais c'est le plus important de la démonstration.
En fait on montre que la forme linéaire :

$\text{[math]}$

est continue sur $\text{[math]}$ pour la norme $\text{[math]}$ et donc par densité de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , cette forme linéaire est continue sur $\text{[math]}$ .

Le théorème de représentation de Riesz ( $\text{[math]}$ est un espace de Hilbert) nous assure alors de l'existence d'une fonction $\text{[math]}$ telle que :

$\text{[math]}$

en particulier cela est vrai pour toute $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ vérifie bien la définition de l'appartenance à $\text{[math]}$ . Au passage, si elle existe, une fonction qui vérifie la propriété de v est unique, et on la note alors $\text{[math]}$ (dérivée au sens faible de u).

J'espère ne pas vous avoir embrouillé, car il y a plusieurs façons d'aborder les espaces de Sobolev (par les dérivées faibles, par les distributions, par la transformée de Fourier....). Quelle est l'approche de votre cours?

En résumé la démarche qu'on utilise généralement pour montrer qu'une fonction est dans $\text{[math]}$ est la suivante:

-Considérer la forme linéaire
$\text{[math]}$
et montrer qu'elle est continue. Pour cela tous les coups sont permis ( Cauchy-Schwarz, majorations brutales....)

- Conclure en invoquant le théorème de Riesz ou le résultat correspondant dans votre cours (il est possible qu'une proposition reprenant l'argument du théorème de Riesz soit présente dans votre cours).

Mon explication était un peu confuse, mais toutes les majorations que nous avons faites étaient donc pour justifier que la constante C était finie afin de montrer la continuité.

N'hésitez pas à poser des questions si je n'ai pas été clair.

PS: pour répondre à Fonky cet exercice se généralise en dimension quelconque, il suffit d'utiliser les coordonnées sphériques en N dimensions.
La densité a alors la forme $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ est "sans dimension" comme diraient les physiciens. Elle s'exprime avec des cosinus et des sinus, mais son expression n'a pas d'importance puisqu'ici notre problème était invariant par rotation.
D'ailleurs si vous êtes en spé, c'est un bon exercice de chercher l'expression de dS en N dimensions (avec le jacobien d'un difféomorphisme bien choisi...)
Si vous êtes vraiment en forme vous pouvez aussi chercher à calculer le volume de la boule unité en dimension N

Fonction dans H^1

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Re : Fonction dans H^1

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