Fonction vectorielle dans R3

[invitec68df109]

Bonjour à tous,
j'ai reçu un petit problème de maths très intéressant qui me donne par contre du fil à retordre ...

Pour faciliter la compréhension je vous recopie un résumé de l'énoncé :

Soit la fonction vectorielle d'une variable dans R³ : r(t) = [x(t), y(t), z(t)] . Justification à l'appui, montrez que si la grandeur de r(t) est constante, alors r(t) et dr/dt seront toujours perpendiculaires

(les caractères en gras représentents des vecteurs)

J'en ai conclu les choses suivantes :
-la grandeur de r(t) doit être égale à r(t + dt). Même si j'arrive très bien à visualiser que la tangente devrait tendre vers la perpendicularité quand dt tend vers zéro, je n'ai pas réeussi à obtenir 0 lors du produit vectoriel de mon vecteur tangent et de mon vecteur "r"

-ensuite, j'ai multiplié le vecteur unitaire r par "k"(où K représente ma longueur constante). J'ai réeussi à obtenir zéro en posant la question à ma TI : dotp(unitV(r(t)), dérivée(unitv(r(t)))=0. Seulement, en le faisant à la main, mes équations atteignent une taille gargantuesque et l'équation finale semble in-simplifiable. Est-ce qu'il pourrait exister une méthode ou un théorème plus simple ?

L'équation représente une courbe qui parcourt une sphère dans toute les direction, donc il est vrai que la dérivée de mon vecteur r sera tangente au vecteur r ... il ne reste plus qu'à le prouver.

Merci à l'avance de votre aide ! J'ai le sentiment que je suis presque sur le point de mettre le doigt sur la solution idéale.
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[Médiat]

"La grandeur de r(t) est constante" se traduit par :

x² + y² + z² = Cste, dérive cette expression...

r(t) et dr/dt sont perpendiculaires se traduit par :

xx' + yy' + zz' = 0.

CQFD

[invitec68df109]

"La grandeur de r(t) est constante" se traduit par :

x² + y² + z² = Cste, dérive cette expression...

En dérivant cette expression, on obtiens une équation scalaire, comment on peut la retourner sous forme vectorielle ?

[Médiat]

En dérivant cette expression, on obtiens une équation scalaire, comment on peut la retourner sous forme vectorielle ?

Il n'y a pas à le faire. L'as-tu dérivée (par rapport à t, bien sur), cette expression ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Soient deux vecteurs U(x,y,z) et V(x',y',z'), quelles est la condition sur leurs coordonnées pour qu'ils soient orthogonaux ?

[invitec68df109]

Il n'y a pas à le faire. L'as-tu dérivée (par rapport à t, bien sur), cette expression ?

Oui, on obtiens : 2x(t)x(t)' + 2y(t)y(t)' + 2z(t)z(t)' = 0

Soient deux vecteurs U(x,y,z) et V(x',y',z'), quelles est la condition sur leurs coordonnées pour qu'ils soient orthogonaux ?

Il faut que le produit scalaire des deux vecteurs donne zéro.

[inviteaf1870ed]

Et comment s'écrit le produit scalaire de ces deux vecteurs, en fonction de leurs coordonnées ?

[invitec68df109]

Je penses que je voit où tu veux en venir ...

Merci à vous tous du coup de main