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méthode de Newton - point fixe



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    méthode de Newton - point fixe

    Bonjour, j´ai le problème suivant. J´ai une fonction f: [a,b] -> IR, deux fois dérivable, vérifiant:

    f(a) < 0 ;
    f(b) > 0;
    f´(x) > 0
    f"(x) >= 0 sur [a,b]

    On me demande de montrer qu´en partant de x_0 = b, la suite donnée par la méthode de Newton, (i.e n(x) = x - f(x)/f´(x)) converge d´une manière monotone vers le seul point x* tel que f(x*) = 0.

    Bon, on sait que x* existe puisque f est strictement croissante et continue, donc bijective de [a,b] sur [f(a),f(b)] et que f(a) et f(b) ne sont pas "du même côté" de 0.

    Pour pouvoir appliquer Newton, il faudrait que je prouver que le maximum sur [a,b] de n´(x) = f(x).f"(x)/(f´(x))^2 soit un nombre q <1. Or c´est cela que je ne vois pas.
    Ensuite, la monotonie découlerait je pense du reste.

    Quelqu´un a-t-il une idée?

    Merci d´avance
    Christophe

    -----


  2. #2
    Arzhur

    Re : méthode de Newton - point fixe

    Bonjour,


    Il faut que tu montres que la suite est décroissante et minorée....( par exemple en comparant 2 termes consécutifs)

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